Bestimmen Sie näherungsweise ein Konfidenzintervall zu einer Sicherheitswahrscheinlich.

Question

Aufgabe:

6. Eine Voraussetzung für die Wirkung eines Medikaments ist die regelmäßige Einnahme. Diese soll mit einer Stichprobe von 100 Patienten überprüft werden. Von diesen haben 70 Patienten das Medikament regelmäßig eingenommen.

Bestimmen Sie näherungsweise ein Konfidenzintervall zu einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95,4 % für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p, dass das Medikament regelmäßig eingenommen wird.

Beschreiben Sie die Bedeutung des Vertrauensintervalls im Sachzusammenhang.

Beurteilen Sie folgende Aussage: Man kann bei obigem Stichprobenergebnis davon ausgehen, dass bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95,4 % wenigstens 65 % aller Patienten das verordnete Medikament regelmäßig einnehmen.

Comments

Und was ist Deine Frage zu dieser Aufgabe?

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@döschwo

Warum machst du eine Markierung "Texte sind einzugeben | döschwo", wenn der Text bereits vollständig durch eine Texterkennung erkannt worden ist?

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Die ist ja genial, tut aber nicht immer richtig, wie man unschwer dem Titel entnehmen kann. Ich gehe davon aus, es obliegt der Fragestellerin zu sagen, was die Aufgabe und ihre Frage ist.

Answer 1

n = 100 ; p = 70/100

Konfidenzintervall zu p
[p - 2·√(p·(1 - p)/n) ; p + 2·√(p·(1 - p)/n)] = [0.6083; 0.7917]

Answer 2

Ich versuche mal, die bereits in einer anderen Antwort hier gegebene Lösung etwas zu erklären... vielleicht hilft das, die Formel zu verstehen.

Da "näherungsweise" verlangt wird, verwendet man die Normalverteilung von X (der Anzahl gemessener Probanden mit regelmäßiger Medikamenteneinnahme). Die inverse Verteilungsfunktion der Normalverteilung bei 0,977 (= 1 - (1 - 0.954) / 2) beträgt etwa z = 1,9953933 ≈ 2.

Das KonfidenzIntervall des Anteils mit "Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95,4 %" (andere Leute sagen "Konfidenzniveau von 95,4 %") liegt also im Bereich von etwa ± 2 Standardabweichungen von 70 / 100. Die Standardabweichung berechnet man als Wurzel der Varianz des Stichprobenanteils, und diese Varianz als

Var[X / n] = Var[X] / n² = n 0,7 (1 - 0,7) / n² = 0,7 (1 - 0,7) / n

wodurch sich als Intervallgrenzen ergeben:

\(\displaystyle \frac{70}{100} \mp 1,9953933 \cdot \sqrt{\frac{0,7 \cdot (1 - 0,7)}{100}} ≈ (0,60856\quad,\quad0,79144) \)

(beim Mathecoach geringfügig anders, da er auf 2 gerundet hat)

Comments

und was ist mit der frage wie viele es zu 65 prozent regelmässig nehmen?

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und was ist mit der frage wie viele es zu 65 prozent regelmässig nehmen?

Das wird nicht gefragt. Die Antwort zu dem was gefragt wird, geht direkt aus dem Konfidenzintervall hervor.

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ich soll aber stellung zu nehmen

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ich soll aber stellung zu nehmen

siehe oben: "Die Antwort zu dem was gefragt wird, geht direkt aus dem Konfidenzintervall hervor."

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beim Mathecoach geringfügig anders, da er auf 2 gerundet hat

Eher weil man mit 95,4% das 2-Sigma Intervall meint. Daher habe ich genau mit 2 gerechnet.

Die Lehrkräfte schreiben halt nicht immer 95,4499736% Intervall.

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Wieso sagt der Mensch dann nicht 2 σ ... Normalerweise glaube ich so einer Lehrkraft, dass sie das meint, was sie sagt.

Also, bevor wir die Fragestellerin noch mehr verwirren, versuche ich das mal so zu formulieren: Wenn der Aufgabenautor gerundet hat und der Mathecoach nicht, stimmt das Intervall vom Mathecoach, wenn umgekehrt, dann stimmt meines. Die Unterschiede sind ohnehin vernachlässigbar.

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Wieso sagt der Mensch dann nicht 2 σ

Vielleicht weil 2 σ keine Sicherheitswahrscheinlichkeit ist und die Lehrkraft es als Sicherheitswahrscheinlichkeit schreiben wollte. Würde die Lehrkraft nicht wollen, dass man das 2 σ Intervall nimmt, dann hätte sie vermutlich vom 95% Sicherheitsintervall gesprochen.

Eigentlich nimmt man meist das 2 σ Intervall, damit die Studenten es recht einfach ohne TR rechnen können. Allerdings scheitert es hier bereits an der Wurzel, für die ich auch den Taschenrechner benutzen würde.