Wie berechne ich den Wert a einer Funktion 3. Grades?

Question

Aufgabe:

Ich habe die Funktion f(x) = 1/8(x³ - 12 x + a) und soll den Wert a ermitteln, mit dem die Funktion die X-Achse im 1. Quadranten berührt.

Problem/Ansatz:

Bittel eine verständliche Erklärung für den Lösungsweg, danke.

Comments

Die Lösung wäre 16.

Answer 1

$f(x) = \frac{1}{8} *(x^3 - 12 x + a)$

$f´(x) = \frac{1}{8} * (3x^2 - 12 )$

$\frac{1}{8} * (3x^2 - 12 )=0$

$x^2=4$  → $x₁=2$   ∨   $x₂=-2$

$f´´(x) = \frac{1}{8} * (6x )$

$f´´(2) = \frac{1}{8} * (6*2 )>0→Minimum$

Somit berührt der Graph bei $x₁=2$ die x-Achse im 1. Quadranten.

$f(2) = \frac{1}{8} *(8 - 24 + a)$

$\frac{1}{8} *(8 - 24 + a)=0$

$a=16$

$f(x) = \frac{1}{8} *(x^3 - 12 x + 16)$

Answer 2

Die Funktion hat (für jedes a) die gleiche leicht zu ermittelnde Minimumstelle.

Wenn du diesen x-Wert hast, musst du a so anpassen, dass y=0 gilt.

Answer 3

Statt $f(x)$ kann man $g(x)=8f(x)$ betrachten, da $g$ bzgl. der Fragestellung

nach $a$ dieselben Eigenschaften hat. Ist $x_0$ die Berührungsstelle,

dann gilt $g(x_0)=g'(x_0)=0$ (doppelte Nullstelle).

$g'(x_0)=3x_0^2-12 = 0 \wedge x_0\geq 0\Rightarrow x_0=2$, folglich

$0=g(2)=8-24+a\Rightarrow a=16$.