Tschebyscheff-Ungleichung Münzwurf

Question

Aufgabe:

Gegeben sei 3-maliger Münzwurf mit Ω = {0,1}³. 1 steht für Kopf und 0 steht für Zahl. Sei X_i das Ergebnis des i-ten Wurfes.

Sei Y := (X₁ + X₂ + X₃) / 3

a) Schätze mit Tschebyscheff ab P(|Y-0.5| >= 1/3)

b) Berechne P(|Y-0.5| >= 1/3) exakt.

Problem/Ansatz:

Ich habe schon folgendes berechnet:

Erwartungswerte:

E [X1 + X2 + X3] = 3/2

E [Y] = 1/2

Varianz von Y:

V [Y] = 1/12

Ich bräuchte noch Hilfe mit dem Tschebyscheff Ungleichung.

Answer 1

Es ist$$\mathbb{E}X_i=0\cdot \mathbb{P}(X_i=0)+1\cdot \mathbb{P}(X_i=1)=1/2$$ und $$\operatorname{Var}(X_i)=\mathbb{E}(X_i^2)-\mathbb{E}(X_i)^2=1/2-(1/2)^2=1/4$$Damit ist $$\mathbb{E}Y=\mathbb{E}(1/3(X_1+X_2+X_3))=1/3(3\cdot 1/2)=1/2$$ und weiter$$\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(1/3(X_1+X_2+X_3))=1/9(3\cdot 1/4)=1/12,$$ da die \(X_i\) unabhängig und identisch verteilt. (Gleichung von Bienaymé)

Also alles richtig, was du bisher gemacht hast. Nun einfach nur noch einsetzen:$$\mathbb{P}\left(|Y-\mathbb{E}Y|\geq \frac{1}{3}\right)=\mathbb{P}\left(|Y-0.5|\geq \frac{1}{3}\right)\leq \frac{\operatorname{Var}(Y)}{\frac{1}{3^2}}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{9}}=\frac{3}{4}.$$

Comments

Ist das also geschätzt oder exakt? Aufgabenstellung a) und b) fragen nach zwei verschiedene Werte. Ich bin aber nicht sicher was gemeint ist.

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Das ist a). Erkennt man am \(\leq\), dass es nicht genau ist.

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Wie berechnet man dann \(\mathbb{P}\left(|Y-0.5|\geq \frac{1}{3}\right)\) exakt?

Vielleicht mit 100 oder 1000-maliger Münzwurf?

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\(\mathbb{P}\left(|Y-0.5|\geq \frac{1}{3}\right)=1-\mathbb{P}(|Y-0.5|<1/3)=\mathbb{P}(-1/3<Y-0.5<1/3)=\mathbb{P}(1/6<Y<5/6)\). Welche Werte kann \(Y\) annehmen?

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Wenn ich die Ungleichung löse komme ich auf \(\mathbb{P}(1/6<Y<5/6)\)

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Ja, Tippfehler. Korrigiert.

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Ist das eine Antwort für b) ? Was bringt mir eigentlich dieses Intervall? Y kann alle Werte größer als 1/6 und kleiner als 5/6 annehmen.

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Also ich hatte die Idee, jetzt zu schauen, welche Werte \(Y\) überhaupt annehmen kann und wie viele davon im Intervall liegen. Nicht im Intervall liegt z. B. Kopf-Kopf-Kopf, dann ist \(Y=1\).

Ich bin mir aber nicht sicher, ob man so laplacesch argumentieren kann.

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Okey also im Intervall liegen dann nur 011, 101 und 110 d.h. alle Stellen wo wir 2-mal Kopf treffen. Das liefert uns eine exakte Wahrscheinlichkeit von \(\frac{3}{8}\).

Kann die Tschebyscheff-Ungleichung so ungenau sein? Kleiner als 0.75 geschätzt und 0.375 exakt.

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Genau, das wäre meine Idee gewesen ...

Kann die Tschebyscheff-Ungleichung so ungenau sein? Kleiner als 0.75 geschätzt und 0.375 exakt.

Wikipedia sagt:

Im Allgemeinen sind die Abschätzungen aber eher schwach. Dennoch ist der Satz oft nützlich, weil er ohne Verteilungsannahmen über die Zufallsvariablen auskommt und somit für alle Verteilungen mit endlicher Varianz (insbesondere auch solche, die sich stark von der Normalverteilung unterscheiden) anwendbar ist. Außerdem sind die Schranken einfach zu berechnen.

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Kleine Anmerkung: Ihr habt auf dem Weg beim Umformen irgendwann das 1- P(..) vergessen.

Und auch wenn nur einmal Kopf vorkommt, liegt Y im eurem Intervall (da 1/6 < 1/3 < 5/6).

Es wäre dann insgesamt 1 - P(1/6 < Y < 5/6) = 1- 6/8 = 2/8.

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@Tankoffline das stimmt! Danke, dass du es bemerkt hast.