WIeso kann ich bei einer selbstadjungierten Abbildung folgern, wenn nur 1 als Eigenwert auftritt und die Matrix bzgl …

Question

Aufgabe:

WIeso kann ich bei einer selbstadjungierten Abbildung folgern, wenn nur 1 als Eigenwert auftritt und die Matrix bzgl einer ONB diagonalsierbar ist mit nur 1 auf Diagonalen, dass es die Abbildung ist? Gilt das dann unabhängig für jede Basis bei der Abbildung?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Die Matrix heiße \(A\). Nach Voraussetzung gibt es Basiswechselmatrix \( T\)

mit \(T^{-1}AT=E_n\Rightarrow A=TE_nT^{-1}=TT^{-1}=E_n\).

\(A\) ist also die Einheitsmatrix (unabhängig von der Wahl einer Basis).

Comments

Also ist diese Abbildung immer die Identität?

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Ja. Habe ich ja gerade gezeigt.