Eigenwert einer reell diagonalisierbaren Matrix folgern

Question

Aufgabe:

Gegeben sei, dass die folgende Matrix reell diagonalisierbar ist:
$M=\left(\begin{array}{ccccc} \frac{1}{5} & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & \pi \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 42 \\ 0 & 2 & 1 & -\frac{1}{5} & 1 \\ 0 & \pi & 42 & 1 & 2 \end{array}\right) \in M(5,5 ; \mathbb{R})$
Folgern Sie: $M$ hat einen Eigenwert $\lambda \in \mathbb{R} \backslash\left(\mathbb{Z} \cup\left\{\frac{1}{5}\right\}\right)$.

Problem/Ansatz:

Habe wenig Probleme mit der Aufgabe, hab leider keinen Ansatz, wie ich einen Eigenwert folgern soll.

Mir ist bewusst, dass wenn die Matrix Diagonalisierbar ist, jeder der 5 Eigenwerte einen Eigenvektor besitzt.

Auch dass die Eigenwerte alle reell sein müssen.

Aber wie folgere ich dass M einen Eigenwert hat der entweder eine ganze Zahl oder 1/5 ist?

Answer 1

Aloha :)

Lol, die wollen dich veräppeln, wie man in Köln sagt..

Die Lösung steckt in der ersten Spalte, Multipliziere $M$ mit $\vec e_1$:$$M\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac15\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}=\frac15\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$Wir legen zum EW $\frac15$ sogar noch den passenden EV $\vec e_1$ oben drauf ;)

Ergänzung:

Wenn Mathhilf richtig liegt, und begründet werden soll, dass es einen EW gibt, der nicht ganzzahlig und nicht $\frac15$ ist, kannst du die Argumentation wie folgt ergänzen:

Die Summe der 5 reellen Eigenwerte ist $=2$, weil die Spur der Matrix $=2$ ist. Einer der Eigenwerte ist $\lambda_1=\frac15$. Also muss die Summe der anderen 4 Eigenwerte gleich $\frac75$ sein:$$\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5=\frac95$$Da ein Bruch rauskommen soll, können die vier EW nicht alle $\not\in\mathbb Z$ sein. Es können aber auch nicht alle EW $=\frac15$ sein, weil dann deren Summe $=1$ wäre.

Comments

Ich verstehe diecAufgabe so, dass ein EW gesucht ist, der nicht ganzzahlig und nicht 1/5 ist.

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Oh wow, und darauf bin ich in Stunden nicht gekommen.

Vielen Dank :)

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@Mathhilf:

Danke für deinen Hinweis...

Ich habe mein Posting nochmal dahingehend ergänzt.

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weil wegen der Diagonalisierbarkeit alle EW unterschiedlich sein müssen

Warum sollte das so sein?

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Warum müssen alle EW unterschiedlich sein? Die Nullmatrix ist auch diagonalisierbar.

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Stimmt, die EV mussten unterschiedlich sein... Ich bin doof.

Answer 2

1/5 ist ein (offensichtlicher) Eigenwert.
Die Summe der Eigenwerte ist die Spur der
Matrix, also $=2$. Wären alle Eigenwerte ganzzahlig
oder =1/5, dann könnte deren Summe nicht 2 sein.