Wahrscheinlichkeitstabellen mit Verteilungsfunktionen

Question

Aufgabe:

Für einen Zufallsvektor (X, Y ) seien die folgenden Wahrscheinlichkeiten bekannt:

$$P^{{\{X,Y}\}} (\{(-1,1)\})=\frac{1}{4}, P^{{\{X,Y}\}} (\{(1,-1)\})=\frac{3}{5}, P^{{\{X,Y}\}} (\{(2,2)\})=\frac{3}{20}$$

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

Ich soll mit den gegebenen Werten der Verteilungsfunktion eine Wahrscheinlichkeitstabelle für X(-1,1,2) und Y(-1,1,2) füllen und die Randdichten berechnen, wie muss ich dafür vorgehen?

Answer 1

Hallo,

sind das wirklich alle Angaben? Wenn ich die Kontigenztafel aufschreibe, ist das GS unterbestimmt. Sind $X$ und $Y$ vielleicht unabhängig?

			X
	P(X=i,Y=j)	-1	1	2	P(X=i)
	-1	a	0.6	e	a+0.6+e
Y	1	0.25	c	f	0.25+c+f
	2	b	d	0.15	b+d+0.15
	P(Y=j)	a+0.25+b	0.6+c+d	e+f+0.15	∑=1

mit a+0.6+e+0.25+c+f+b+d+0.15=a+0.25+b+0.6+c+d+e+f+0.15=1

Comments

Nur das steht noch bei der Aufgabe bei:

Füllen Sie die nachfolgende Tabelle mit Werten der Verteilungsfunktion F(X,Y )(x, y) von (X,Y) an den vorgegeben Stellen (x,y). Tragen Sie überdies in der Tabelle auch die entsprechenden Werte der Verteilungsfunktionen der Randverteilungen ein.

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Warum ist hier plötzlich von der Verteilungsfunktion die Rede? Ist eine "Wahrscheinlichkeitstabelle" bei euch besonders definiert? Ich kenne das als Kontingenztafel. Die Vier-Felder-Tafel ist ein Sonderfall derselben.

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Thema ist aus dem Modul Stochastik 1. Wir nutzen die Tabelle bei Zufallsvektoren um die gemeinsame Verteilung darzustellen, mit der Tabelle werden dann Marginalverteilungen, Erwartungswert, Varianz usw. berechnet.

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Hier als Beispiel Kapitel 12 im Skript

https://www.math.kit.edu/stoch/~henze/media/einf-stochastik-ws-2015-…

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Ja, ich habe das Buch von Henze zur Stochastik gelesen, aber mir ist die Formulierung der Frage etwas schleierhaft. Was hältst du denn von meiner Lösung bisher? Bei stochastischer Unabhängigkeit (scheint aber nicht gegeben zu sein), hat man mehr Informationen, weil man dann aus $P^{(X,Y)}(\{1,2\})=P(X=1,Y=2)$ ableiten könnte, dass $P(X=1,Y=2)=P(X=1)P(Y=2)=\frac{1}{4}$. Da könnte man dann ein GS aufstellen.

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P^(X,Y) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, eine Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors wäre $F_{(X,Y)}(x,y)=P(X\leq x, Y\leq y)$.

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Mit der stochastischen Unabhängigkeit wäre das einzige was für mich gerade Sinn macht. Vorher mit den Wahrscheinlichkeiten rechnen kommt nicht in Frage?