0 Daumen
182 Aufrufe

Aufgabe:

Bestimmen Sie mittels der Anfangsbedingung $$ \hat{u} (0,k) = \frac{1}{\sqrt(2 \pi)} e^{-k^2/4} \hat{u}(t,k) $$.


Problem/Ansatz:

So ich würde nun den Ansatz wie folgt machen: $$ \hat{u} (t,k) = c_1*e^{ikt} + c_2 e^{-ikt} $$. Somit ergibt sich durch einsetzen folgendes:

$$ \frac{1}{\sqrt(2 \pi)} e^{-k^2/4} = c_1+c_2$$ und das ganze abgeleitet ergibt $$  \frac{1}{\sqrt(2 \pi)}(\frac{-ik}{2}) e^{-k^2/4} = ik(c_1-c_2)$$, aber nun komme ich irgendwie nicht weiter bei dem lösen, es kommt nur Blödsinn heraus.

von

Ich verstehe die Aufgabe nicht. Fehlt eine Info? Vielleicht eine Differentialgleichung?

Also die volle Aufgabe lautet: Gesucht ist die Lösung der Gleichung $$\frac{d u(x,t)}{dt} - \frac{d^2 u(t,x) }{dx^2}  = 0$$ mit der Anfangsbedingung $$u(0,x) = e^{-x^2} $$.


Bestimmen sie die AB: $$\hat{u}(0,k)$$ was $$\frac{1}{\sqrt(2 \pi)} * e^{-k^2/4} $$  ergibt und damit muss ich nun $$\hat {u}(t,k) $$ ermitteln.

Hast Du denn schon eine Gleichung oder Differentialgleichung für \(\hat{u}\) hergeleitet?

Ich hab $$\hat {u}(0,k) $$ oben schon ermittelt gehabt mittels FT, und wollte mit der allgemeinen Lösung $$ \hat{u}(t,k) $$ berechnen eben wie ich es oben gemacht hab, nur komm ich auf unschöne Werte

Woher kommt der Ansatz für \(\hat{u}\)?

Indem ich die anfangsgleichung Umschreibe mittels Fouriertransformation und dann hätte ich den allgemeinen Ansatz verwendet für die spezifische Lösung

Wie sieht die umgeschrieben Gleichung aus?

$$\hat{u}(t,x) (\frac{d}{dt} +k^2)=0 $$

Das hast Du zwar komisch notiert. Aber es ist eine Dgl erster Ordnung, diese wird von Deinem o.g. Absatz nicht gelöst. Also: Was ist die Lösung von f'+k^2*f=0?

Die Lösung wäre $$f(t)=c_1*e^{-k^2t} $$


Nun Nehme ich die Anfangsbedingung setze für t = 0 ein, damit komme ich zu

$$ \hat{f}(0,k) = c_1 $$ somit ist mein  $$ \hat{f}(t,k) = \frac{1}{\sqrt(2)}e^{-k^2/4}*e^{-k^2t}$$

Kann das stimmen so?

Ja, das stimmt jetzt, Du hast nur ei pi vergessen.

Danke dir für deine Geduld und Hilfe!

Gern geschehen

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community