Bestimmen Sie die Lösung dieser Differentialgleichung unter der Anfangsbedingung n(0) = 0.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten monomolekulare chemische Reaktionen, bei denen ein Stoff A in einen Stoff B
umgewandelt wird. Sei α die Konzentration von A zur Zeit t = 0 und n(t) die Konzentration der
umgewandelten Substanz B zur Zeit t. Dann ist die Reaktionsrate dn/dt nach dem sogenannten
Massenwirkungsgesetz gegeben durch

\( \frac{dn}{dt} \) = λ (α - n)   mit einer reellen Konstanten λ > 0 .

Bestimmen Sie die Lösung dieser Differentialgleichung unter der Anfangsbedingung n(0) = 0.
Welchem asymptotischen Wert strebt n(t) für t → ∞ entgegen?

Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe :-(

Answer 1

Hallo,

Diese DGL kannst Du via Trennung der Variablen lösen:

\( \frac{dn}{dt} \) = λ (α - n) |*dt :(α -n)

\( \frac{dn}{α-n} \) =λ dt

-ln |α -n| =λ t +C | (-1)

ln |α -n| = -λ t -C | e hoch

|α -n| =\( e^{ -λ t -C} \)

|α -n| = \( e^{-λ t} \)  \( e^{- C} \)

α -n = \( e^{-λ t} \)  * ± \( e^{- C} \)

± \( e^{- C} \) =C1

n(t)= α -C₁ \( e^{-λ t} \)

Anfangsbedingung n(0) = 0:

Setzte diese in die Lösung ein:

α =C₁

Welchem asymptotischen Wert strebt n(t) für t → ∞ entgegen?

n(t)= α - α \( e^{-λ t} \)

n(t)= α (1- \( e^{-λ t} \))

Bilde den Grenzwert :$$\lim_{t \to ∞} n(t)$$

Lösung: n(t)= α