Die Abbildung an x0 differenzierbar und das gilt...

Question

Aufgabe:

Es sei $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar an $x_{0} \in X$, und es sei $a \in \mathbb{R}$. Zeigen Sie, dass dann auch $a f$ (d.h. die Abbildung $x \mapsto a f(x)$ ) an $x_{0}$ differenzierbar ist und, dass gilt
$(a f)^{\prime}\left(x_{0}\right)=a f^{\prime}\left(x_{0}\right)$

Problem/Ansatz:

Tue mir wirklich schwer mit der Aufgabe. Vielen Dank

Answer 1

$$(af)'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{(af)(x_0+h)-(af)(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a\cdot f(x_0+h)-a\cdot f(x_0)}{h}=\\=a \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=a\cdot f'(x_0)$$