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kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Am besten wäre eine Rechnung mit Erklärung. Ich verstehe das nicht. Danke euch allen.

aufgabe_xxxxxx.png

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Kennst du den Beweis für den binomischen Lehrsatz mit Induktion? Mit einer sehr ähnlichen Vorgehensweise kannst du diese Aufgabe lösen. Benutze dazu die Produktregel.

1 Antwort

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Für n=1 ist das einfach die Produktregel; denn

$$\sum_{i=0}^{1}{\begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix}f^{(i)}(x_{0})g^{(1-i)}(x_{0})}$$

$$={\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}f^{(0)}(x_{0})g^{(1)}(x_{0})}+{\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}f^{(1)}(x_{0})g^{(0)}(x_{0})}$$

$$={1*f(x_{0})g'(x_{0})+1*f'(x_{0})g(x_{0})}$$.

Und für den Induktionsschritt brauchst du neben der Aussage

über die Differenzierbarkeit:

$$(f*g)^{(n+1)}(x_{0})=((f*g)^{(n)})'(x_{0})$$

und dann die Ind.vor. gibt

$$=(\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}f^{(i)}(x_{0})g^{(n-i)}(x_{0})})'$$

Mit der Regel über die Abl. einer Summe und für einen konstanten Faktor gibt das

$$=\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} (f^{(i)}(x_{0})g^{(n-i)}(x_{0})})'$$

Nun im Inneren der Summe die Produktregel anwenden:

$$=\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} (f^{(i+1)}(x_{0})g^{(n-i)}(x_{0})+f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0}))}$$

Daraus zwei Summen machen

$$\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} f^{(i+1)}(x_{0})g^{(n-i)}(x_{0})}+\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}$$

Indexverschiebung bei der 1. Summe:

$$\sum_{i=1}^{n+1}{\begin{pmatrix} n\\i-1 \end{pmatrix} f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}+\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}$$

Bei beiden Summen je eine 0 ergänzen gibt:

$$\sum_{i=0}^{n+1}{\begin{pmatrix} n\\i-1 \end{pmatrix} f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}+\sum_{i=0}^{n+1}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}$$

und wieder zu einer Summe machen

$$\sum_{i=0}^{n+1}{(\begin{pmatrix} n\\i-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}) f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}$$

Jetzt noch die bekannte Formel für die Summe zweier Binomialkoeffizienten anwenden und du hast es.

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