Integral über unbeschränktem Intervall / Uneigentliches Integral

Question

Aufgabe:

$\lim\limits_{z\to\infty}$ $\frac{1}{(1 - α)}$ * (z^(1-α) - 1)

= $\frac{1}{ α - 1}$ , da $\lim\limits_{z\to\infty}$ 1 / z^(α-1) = 0

für α > 1.

Problem/Ansatz:

Der finale Schritt zu 1 / (α - 1) samt der Begründung leuchtet mir gerade leider absolut nicht ein.

Das 1 / z(α-1) = 0 für z gegen Unendlich gilt verstehe ich, aber warum kann das hier als Begründung herangezogen werden? Und woher stamm die Umkehr bezogen auf 1 - α bzw. α - 1?

Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen? Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

$z^{1-\alpha} = z^{-(\alpha-1)} = \frac{1}{z^{\alpha-1}}$

Die erste Umformung ergibt sich aus Rechenregeln für negative Zahlen.

Die zweite Umformung ergibt sich aus Rechenregeln für Potenzen.

Comments

Hallo oswald, vielen Dank für Deine schnelle Hilfe!

D.h.

$\frac{1}{1-α}$ * z^1-α + $\frac{1}{-(1-α)}$

= $\frac{1}{1-α}$ * z^1-α + $\frac{1}{α-1)}$

richtig?

Hinzu kommt die Umformung aus Deiner Antwort, die ich für sich auch nachvollziehen kann. Einzig ist mir noch nicht klar, warum/wie man auf die Idee kommt, z^1-α noch zu \( \frac{1}{z^α-1} \) umzuwandeln.

Kann mich diesbezüglich auch noch jemand erhellen?

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D.h.$\frac{1}{1-α}$ * z1-α + $\frac{1}{-(1-α)}$= $\frac{1}{1-α}$ * z1-α + $\frac{1}{α-1}$richtig?

Das ist richtig.

wie man auf die Idee kommt, z^1-α noch zu 1/z^α-1 umzuwandeln.

Wegen $\alpha > 1$ ist $1 - \alpha < 0$. Deshalb wendet man die Definition von Potenzen mit negativem Exponenten an.