Uneigentliches Integral mit komplexem Anteil

Question

Text erkannt:

(c) \( \int \limits_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x \)

Hier kann ich bereits die Grenzen etc bestimmen. Allerdings weiß ich nicht wie man die Stammfunktion einer solchen komplexen Zahl bestimmen kann.

Könnte mir hier jmd. evtl. weiterhelfen?

LG

Comments

Hier ist doch gar keine komplexe Zahl beteiligt?!

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https://www.integralrechner.de/

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Das ist eine klassische Anwenung des Residuensatzes. Da die Funktion symmetrisch ist, kannst du das Integral über ganz \(\mathbf{R}\) betrachten und später dann halbieren. Dann das komplexe Integral betrachten und die Singularitäten (also Nullstellen von \((x^2 + 1)^2\)) in der oberen Halbebene bestimmen.

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Soll der Wert berechnet werden oder nur die Konvergenz nachgewiesen werden?

Ob der Residuensatz wohl schon bekannt ist?

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Hallo

indem du etwa kompliziertes "komplex" nennst benutzt du einen mathematischen Begriff, komplexe Zahl oder Ausdruck, den du fast sicher nicht so meinst! In Mathe ist eine komplexe Zahl z=a+ib mit i=√(-1)

gruß lul

Answer 1

Hier hilft ein kleiner Trick weiter.
Ich berechne nur die Stammfunktion und geb das Ergebnis an. Die Grenzen einsetzen kannst du sicher selbst:

\(I =\int\frac{1}{(x^2+1)^2}\,dx= \int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^2}\,dx= ...\)

\( ...=\int \frac{1}{(x^2+1)}\,dx - \int\frac{x^2}{(x^2+1)^2}\,dx =...\)

\(...= \arctan x - \frac 12 \cdot \underbrace{\int x\frac {2x}{(x^2+1)^2}\, dx}_{=I_1}\)

Jetzt berechnest du \(I_1\) mit partieller Integration und erhältst:

\(I_1 = -\frac x{x^2+1}+\int 1\cdot \frac 1{x^2+1}\,dx= -\frac x{x^2+1}+\arctan x\)

Damit erhältst du insgesamt:
\(I = \frac 12 \arctan x + \frac 12 \cdot \frac x{x^2+1}\)

Grenzen einsetzen ergibt:

\(\int_0^{\infty}\frac{1}{(x^2+1)^2}\,dx = \frac{\pi}4\)