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Hey leute, also ich muss dieses integral prüfen, aber irgendwie scheint es keine lösung zu haben also nehm ich mal an es is uneigentlich, aber wie genau zeigt man das?! wie mach ich den limes dafür?!  Wäre echt für jede hilfe dankbar, muss es nämlich am freitag präsentieren mit den anderen beispielen hatte ich keine probleme nur da blick ich irgendwie nicht durch =S


$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } 1 / ( 2 x + 1 ) ^ { \wedge } 2$$

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Ja, es handelt sich um ein uneigentliches Integral.

Und nein, es konvergiert nicht, die Lösung von Bepprich ist falsch, das nehme ich schonmal vorweg.

Die Funktion

$$ f ( x ) = \frac { 1 } { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } } $$

besitzt eine sogenannte Polstelle bei x=-1/2, denn wenn man für x gegen diesen Wert geht, dann geht der Nenner gegen 0, also der Funktionswert gegen unendlich.

Um ein solches Integral auszurechnen, musst du es zunächst in zwei Hälften aufteilen, die jeweils die Polstelle als Grenze besitzen.

Wichtig ist außerdem, dass du nur dann die beiden Ergebnisse addieren darfst, wenn beide Teilintegrale konvergieren.

$$ \begin{array} { l } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { 1 } { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } } d x = ? } \\ { \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \int _ { - 1 } ^ { c } \frac { 1 } { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } } d x } \\ { = \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \int _ { - 1 } ^ { 2 c + 1 } \frac { 2 } { u ^ { 2 } } d u } \end{array} \\ \begin{array} { l } { = \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \left[ - \frac { 1 } { u } \right] _ { - 1 } ^ { 2 c + 1 } } \\ { = \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 c + 1 } \right] = \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \left[ \frac { 2 c + 1 - 1 } { 2 c + 1 } \right] = \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \left[ \frac { 2 c } { 2 c + 1 } \right] \rightarrow \infty } \end{array} $$

Da das Integral also bereits auf dem ersten Teilintervall gegen Unendlich geht, kann das gesamte Integral nicht konvergieren und ist damit nicht ausrechenbar.

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Julian hat recht. Habe vergessen mir die Polstelle genau anzusehen. Sorry. Aber das zeigt mal, wie schnell man scheinbar zum konvergierten Integral geraten kann .-)
Zur Untersuchung von uneigentlichen Integralen müssen wir doch prüfen ob wir ein uneigentliches Integral erster oder zweiter Art vorliegen haben.

Da die Fläche für x gegen plus unendlich oder minus unendlich konvergiert aber an der Polstelle divergiert haben wir ein uneigentliches Integral 1. Art.

Oder mache ich da jetzt einen Fehler? Irgendwie habt ihr beide in den Lösungen nie den Grenzwert für x gegen +- unendlich gebildet.
Das ist ja auch irrelevant, bestimmt werden soll ein bestimmtes, uneigentliches Integral - was der Integrand außerhalb der Grenzen macht ist nicht wichtig.

Entscheidend ist, dass innerhalb des zu integrierenden Intervalls eine Polstelle liegt, das macht das Integral - wenn man es noch in eine Summe aus zwei Integralen aufspaltet - zu einem uneigentlichen Integral zweiter Art, da das Integrationsverhalten am Rand des Definitionsbereichs untersucht wird.
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Ist lösbar mit dem Substitutionsverfahren. Integral ist bestimmt mit der unteren Integrationsgrenze -1 und der oberen Integrationsgrenze +1

Man ersetzt einen Ausdruck im Interganten einer Variable.

Es bietet sich an: 2x + 1 = u                                 (1)

Dann leiten man die Funktion u nach x ab: du/dx = 2 oder dx = 0,5*du                   (2)

Da das Integral bestimmt ist (also Grenzen hat), kann man die Integrationsgrenzen gleich mit ersetzen:

u (untere I-Grenze) = 2*(-1) + 1 = -1

u (obere I-Grenze) = 2*1 + 1 = 3

Nun setzt man die Ausdrücke (1) und (2) und die untere und obere, ersetzte Integrationsgrenze in das Integral ein:

$$ \int _ { - 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 } d u $$

Nach Hauptsatz der Diffential- und Integralrechung ergibt sich -0.5/u in den Grenzen von -1 bis 3 = -0.5(1/3 - 1/(-1)) = -0.5(1/3+1) = -0.5*4/3 = - 2/3 FE (Ergebnis)

Beantwortet von 5,4 k

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