Wie geht man bei diesem Beweis vor?

Question

Sei ∼ eine reflexive Relation auf einer Menge M. Beweise, dass ∼ genau dann eine Äquivalenzrelation
ist, falls für alle x, y, z ∈ M aus (x ∼ y) ∧ (x ∼ z) stets y ∼ z folgt.

Wie genau gehe ich bei diesem Beweis vor?

Comments

Ist Dir denn klar, was Du zeigen musst?

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zu zeigen,denke ich, wäre Folgendes:

∀x∈M:(x,x)∈R⇔∀x,y,z∈M:((x,y)∈R∧(x,z)∈R)⇒(y,z)∈R

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Nein. Du musst aus der Reflexivität und der angegebenen Eigenschaft

sowohl Symmetrie als auch Transitivität folgern.

Dass eine Äquivalenzrelation die angegebene Eigenschaft hat,

ist klar.

Answer 1

Sei ∼ eine reflexive Relation auf einer Menge M, so dass

(1)        (x ∼ y) ∧ (x ∼ z) ⇒  y ∼ z

für alle x, y, z ∈ M gilt.

Zeige dass ∼ symmetrisch ist. Seien dazu a, b ∈ M mit a ~ b. Du willst b ∼ a zeigen. Einsetzen in (1) ergibt

        (x ∼ b) ∧ (x ∼ a) ⇒  b ∼ a.

Wie muss man x wählen, damit (x ∼ b) ∧ (x ∼ a) gilt?

Zeige auch, dass ∼ transitiv ist.

Comments

Was ist genau mit "Wie muss man x wählen, dass" gemeint. Ist eine konkrete Zahl gemeint oder was für Bedingungen muss das x leicht erfüllen ?

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Sei ∼ eine reflexive Relation auf einer Menge M

Du hast keine Ahnung, welche Elemente die Menge M hat.

Seien dazu a, b ∈ M mit a ~ b

Jetzt weißt du, dass M zumindest die Elemente a und b enthält.

Ist eine konkrete Zahl gemeint

Dann wirst du Schwierigkeiten haben, nachzuweisen dass die konkrete Zahl ein Element von M ist.

oder was für Bedingungen muss das x leicht erfüllen

Es muss ein Element von M sein.

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Also ich habe Folgendes jetzt mal geschrieben:

Sei R eine refl. Relation auf einer Menge M.

zz: R ist eine Äqu. Rel. auf M⇔∀x,y,z∈M: (xRy)∧(xRz)⇒yRz

Man muss nur mehr zeigen, dass es symmetrisch ist bzw. auch transitiv

sym: Seien x,y∈M mit (x,y)∈M⇒(y,x)∈M

Wie gehe ich nun weiter vor?

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Wie muss man x wählen, damit (x ∼ b) ∧ (x ∼ a) gilt?

x = a einsetzen. Dann bekommt man

        (a ∼ b) ∧ (a ∼ a).

Diese Aussage gilt, weil

        a ∼ b

laut Definition von a und b ist und

        a ∼ a

weil ~ reflexiv ist.

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Zeige, dass R transitiv ist. Seien dazu a,b,c ∈M mit (aRb)∧(bRc). Man will aRc.

Ist diese Annahme schon Mal richtig?

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Das ist soweit richtig.

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Wieder oben eingesetzt ergibt es (xRb) ∧(xRc) ⇒aRc

Ich muss ein gültiges x finden. Doch welches müsse man hier jetzt wählen?

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Wieder oben eingesetzt ergibt es (xRb) ∧(xRc) ⇒aRc

Nein.

Wenn du in

        (x ∼ y) ∧ (x ∼ z) ⇒  y ∼ z

Ein b für y einsetzt und ein c für z einsetzt, dann bekommst du

      (x ∼ b) ∧ (x ∼ c) ⇒  b ∼ c.

Das hilft dir aber nicht weiter, weil wegen

        "Seien dazu a,b,c ∈M mit (aRb)∧(bRc)"

sowieso schon weißt, dass b ∼ c ist.

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Ich komm leider nicht drauf. Oder ginge vielleicht:

(xRb) ∧ (bRz) ⇒(xRz)

?

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\(\begin{aligned} & a\sim b\wedge b\sim c\\ \stackrel{\text{Sym.}}{\implies} & b\sim a\wedge b\sim c\\ \stackrel{\text{(1)}}{\implies} & a\sim c \end{aligned}\)