Macht die Aussagelogik sinn?

Question

Problem/Ansatz:

Es sollen zwei Aussagen gemacht werden, welche im folgenden Format sind:

$$\forall \text{ aaaa } \exists \text{ bbbb } : \text{ cccc } \\ \exists \text{ bbbb } \forall \text{ aaaa } : \text{ cccc }$$

Beide Aussagen sollen richtig seien wobei aaaa, bbbb und cccc in den beiden Aussagen übereinstimmen sollen.

(Entschuldigung für die Platzhalter, mir ist nichts besseres eingefallen)

Sind die folgenden Aussagen in diesem Kontext korrekt oder muss ich etwas ändern?

$$\forall x \in \mathbb{N} \ \exists y \in \mathbb{Z} : x \neq y \\ \exists y \in \mathbb{Z} \ \exists x \in \mathbb{N} : x \neq y$$

Comments

Ja die Aussagenlogik ergibt Sinn, sonst würden wir uns nicht mit ihr beschäftigen.

Bei deiner zweiten Aussage sollte der zweite Quantor ein Allquantor und kein Existenzquantor sein. So wie es das Schema eben vorgibt. Wenn du den Quantor bei dir tauschst wird deine zweite Aussage aber falsch. D.h. du musst nach einem anderen Beispiel suchen.

Answer 1

Hallo

die beiden oberen Aussagen sind ja einfach dasselbe.

die unteren Aussagen sind beide wahr, aber sind verschieden,

Gruß lul

Comments

Danke

Ich war mir nur unsicher, weil ich erst vor kurzem mit dem Thema begonnen habe.

Viele Grüße

Answer 2

Die beiden Aussagen mit aaaa, bbbb, cccc sind

im allgemeinen wesentlich verschieden:

Sei \(P\) die Menge der Primzahlen und \(t(a,b)\) die Aussage \(a\) teilt \(b\).

Dann gilt

\(\forall a\in P :\; \;  \exists b\in P:\; t(a,b)\),

aber es gilt nicht

\(\exists b\in P:\; \; \forall a\in P: \; t(a,b)\)

Bei der ersten Aussage wähle b=a.

Die zweite Aussage würde bedeuten, dass es eine Primzahl

gibt, die durch alle Primzahlen teilbar ist.

Ein Simpelbeispiel, in dem die beiden Aussagen wahr sind.

ist: Sei \(M=\{1\}\)

Dann gilt

\(\forall a\in M\:\;\; \exists b\in M:\;\; a=b\)

und ebenfalls

\(\exists b\in M:\;\; \forall a\in M:\;\; a=b\).