Borel-messar nach Dezimaldarstellung

Question

Aufgabe:

Die Menge aller reellen Zhalen , in deren Dezimaldarstellungen die Ziffer 2 vorkommt, ist borel-messbar

Problem/Ansatz:

es gibt die mengensysteme und ich weiß ich muss zeigen das es eine 2 kommt und erst danch das sie nach dem komma auftaucht wie genau muss ich das aber machen

Answer 1

Hallo,

zeige, dass: $$A_n = \{ x\in \mathbb{R} \ : \  \lfloor 10\cdot (10^{n-1} x -\lfloor 10^{n-1} x \rfloor) \rfloor = 2 \} \\ = \{ x\in \mathbb{R} \ : \ x \text{ hat eine } 5 \text{ an der n-ten Stelle der Dezimalbruchdarstellung}  \}$$ Borel-messbar ist. Versuch, die Menge zu verstehen. Du weißt darüber hinaus bestimmt, dass die abzählbare Vereinigung Borel-messbarer Mengen Borel-messbar ist.

Der Beweis ist dann ziemlich routinemäßig. Du definierst dir $$f_n:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ f_n(x)= \lfloor 10\cdot (10^{n-1} x -\lfloor 10^{n-1} x \rfloor) \rfloor$$ und zeigst, dass das eine borel-messbare Funktion ist. Das Urbild \(f_n^{-1}(2)=A_n\) ist dann ebenfalls Borel-messbar, denn Urbilder messbarer Mengen sind messbar (das ist die definierende Eigenschaft).