Wie lauten die letzten 3 Ziffern der Dezimaldarstellung von 9^9^9

Question

Aufgabe:

Wie lauten die letzten 3 Ziffern der Dezimaldarstellung von \( 9^{(9^{9})} \)

Problem/Ansatz:

Die letzten beiden Ziffern bekomme ich ja noch hin (89):

\( 9^{9^{9}}=(10-1)^{9^{9}} \equiv(-1)^{9^{9}}+9^{9} \cdot 10^{1} \cdot(-1)^{9^{9}-1} \equiv-1+10 \cdot 9^{9} \quad(\bmod 100) \)
\( 9^{9}=(10-1)^{9} \equiv-1 \quad(\bmod 10) \Longrightarrow 10 \cdot 9^{9} \equiv-10 \quad(\bmod 10 \cdot 10) \)
\( \Longrightarrow 9^{9^{9}} \equiv-1-10 \quad(\bmod 100) \equiv 100-11 = 89\)

Auf die drittletzte komm ich allerdings nicht (dafür müsste ich mir doch \( 9^{19}, 9^{29}, 9^{39}, 9^{49}, 9^{59}, \ldots, 9^{\ldots 89}, \ldots \) anschauen, oder? Dabei ist die drittletzte Zahl aber nicht identisch!

Danke für eure Hilfe

Answer 1

Hier ist ein möglicher Weg, der aber trotzdem eine Menge Kongruenzrechnen einschließt.

Idee:

Wir splitten den Modul \(1000 = 8\cdot 125\).

Berechnen die gesuchte Zahl Modulo 8 und 125 mit Hilfe der Eulerschen \(\phi\)-Funktion.

Berechnen die gesuchte Zahl per Chinesischen Restklassensatz.


Modulo 8:

\(9 \equiv_{8} 1 \Rightarrow \boxed{9^{(9^9)} \equiv_{8} 1}\).


Modulo 125:

Jetzt kommt der mühselige Teil. Ich benutze

\(\phi(125) = \phi(5^3) = 5^2\cdot (5-1) = 100 \stackrel{\text{Euler}}{\Rightarrow}9^{100} \equiv_{125} 1\)

Also reduzieren wir zunächst den Exponenten \(9^9 \mod 100\). Du hattest das schon aussgerechnet:

\(9^9 \equiv_{100} = (10-1)^9 \equiv_{100} \stackrel{\text{binom. Formel}}{\equiv_{100}}\binom 91 \cdot 10 \cdot (-1)^8 + \binom 90 \cdot (-1)^9 \equiv_{100} 89\)

\(\Rightarrow \boxed{ 9^{(9^9)} \equiv_{125} 9^{89}}\)

Jetzt kommt ein schrittweises Reduzieren des Exponenten. Dabei suchen wir Zahlen, die in der Nähe von Vielfachen von 25 bzw. 50 liegen, weil daraus wiederum Zahlen entstehen (können), die in der Nähe von Vielfachen von 125 sind:

$$\begin{array}{rcl}9^{(9^9)}  & \equiv_{125} & 3^{2\cdot 89}  \\    & \stackrel{2\cdot 89 = 100 + 78}{\equiv_{125}} & 3^{78} \\    & \stackrel{3^5=243\equiv_{125} -7 }{\equiv_{125}} & (-7)^{15}\cdot3^3\\    & \stackrel{7^2 = 50-1 }{\equiv_{125}} & -7\cdot(50-1)^{7}\cdot3^3\\ & \stackrel{(50-1)^2\equiv_{125}(1-100) }{\equiv_{125}} & -7\cdot(50-1)(1-100)^{3}\cdot3^3\\& \stackrel{(1-100)^2\equiv_{125}(1-200) }{\equiv_{125}} & -7\cdot(50-1)(1-100)(1-200)\cdot3^3\\ & \stackrel{(1-100)(1-200)\equiv_{125}(1-300) }{\equiv_{125}} & -7\cdot(50-1)(1-300)\cdot3^3\\& \stackrel{(1-300)\equiv_{125}(1-50) }{\equiv_{125}} & 7\cdot(50-1)^2\cdot3^3\\ & \stackrel{(50-1)^2\equiv_{125}(1-100) }{\equiv_{125}} & 7(1-100)\cdot3^3\\  & \equiv_{125} & \boxed{39} \end{array}$$

Nun müssen wir nur noch lösen:

$$\begin{array}{rcl}x & \equiv_{8} & 1\\  x & \equiv_{125} & 39 \end{array}$$

Per Chinesischem Restklassensatz erhalten wir

$$\boxed{x\equiv_{1000} 289}$$

Das sind die gesuchten 3 Ziffern.

Comments

Danke dir - das ist auf jeden Fall ein interessanter Lösungsweg ☺ (wäre ich nie drauf gekommen).