Injektive, surjektive Abbildung angeben, Mengen

Question

Aufgabe:

Betrachte die Mengen A = {a, b, c} und B = {1, 2, 3, 4}.
(i) Gib eine injektive Abbildung f : A → B an.

(ii) Gib eine surjektive Abbildung g : B → A an.

(iii) Existiert eine bijektive Abbildung h : A → B (also sind die Mengen gleichmächtig)?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich anhand von Mengen eine Abbildung angeben soll.

Also für (i) müsste doch ein y∈B „übrig“ bleiben, da jedes Element der Zielmenge höchstens einmal getroffen wird.

Für (ii) wird aus der Zielmenge A ein y∈A zweimal getroffen

(iii) Es existiert keine, da bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau einmal getroffen wird und dafür die Definitions- und Zielmenge, die gleiche Anzahl an Elemente haben müssen.

Sind diese Ansätze richtig? Wie komme ich auf die Abbildungen?

Comments

Siehe Antwort, ich kann den Kommentar leider nicht mehr löschen :(

Answer 1

1) Abbildungen zwischen so kleinen Mengen kannst du einfach so beschreiben indem du die Abbildung für jeden Punkt anführst. z.B

i)

$$f(x)=\begin{cases}1 \quad&\text{wenn }x=a\\2 \quad&\text{wenn }x=b\\3 \quad&\text{wenn }x=c\\\end{cases}$$

ii) Ja richtig erkannt, aber zweimal getroffen zu werden ist ja kein Problem (passiert ja bei f(x)=x^2 auch).

ii) $$g(x)=\begin{cases}a \quad&\text{wenn }x=1\\a \quad&\text{wenn }x=2\\b \quad&\text{wenn }x=3\\c \quad&\text{wenn }x=4\\\end{cases}$$

So wird jedes Element in A mindestens einmal getroffen.

iii) Ja, genau richtig erkannt. (Nur für die Zukunft würde ich mit "gleich viele" aufpassen, später im Studium wirst du zum Beispiel lernen, dass es eine Bijektion von den natürlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen gibt, wobei es natürlich mehr rationale Zahlen als natürliche Zahlen gibt. Solang deine Mengen endlich sind, passt "gleich viele", besser und allgemein gültiger ist aber "gleich mächtig").

Falls was nicht klar ist, frag einfach nochmal nach! LG :)

Comments

Ich danke dir vielmals! Du hast mir wirklich weiter geholfen. Das Thema Abbildungen ist so gar nicht meins und ich habe noch sooo viele Fragen