Ermitteln Sie den Grenzwert dieser Folge

Question

Aufgabe:

Gesucht ist der Grenzwert folgender Folge:

$$\huge\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1\cdot2\cdot2!}+...+\frac{1}{(n-1)\cdot n\cdot n!}\right)$$

Problem/Ansatz:

Könnte jemand helfen, den Grenzwert zu finden?

Answer 1

Aloha :)

Das kannst du für \(N\ge3\) direkt durchrechnen:$$S_N=\frac{1}{1\cdot2\cdot2!}+\cdots+\frac{1}{(N-1)\cdot N\cdot N!}=\sum\limits_{n=2}^N\frac{\pink1}{\pink{(n-1)\cdot n}\cdot n!}=\sum\limits_{n=2}^N\pink{\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)}\cdot\frac{1}{n!}$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}\cdot\frac{1}{n!}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n!}=\sum\limits_{n=2}^{N}\pink{\frac{1}{(n-1)\cdot n}}\cdot\frac{1}{(n-1)!}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n!}$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=2}^{N}\pink{\left(\frac{1}{n-1}-\frac1n\right)}\cdot\frac{1}{(n-1)!}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n!}$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}\cdot\frac{1}{(n-1)!}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{(n-1)!}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n!}$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n!}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n!}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n!}$$$$\phantom{S_N}=\left(\frac{1}{1\cdot1!}+\red{\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n!}}\right)-\left(\sum\limits_{n=0}^N\frac{1}{n!}-\frac{1}{1!}-\frac{1}{0!}\right)-\left(\red{\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n!}}+\frac{1}{N}\cdot\frac{1}{N!}\right)$$$$\phantom{S_N}=3-\sum\limits_{n=0}^N\frac{1}{n!}-\frac{1}{N\cdot N!}\;\;\stackrel{(N\to\infty)}{\to}\;\;\boxed{3-e}$$

Comments

Wooooow.

Warum erst ab \(N\ge3\)?

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Die beiden letzten roten Summen hätten sonst eine kleinere obere Grenze als untere Grenze. Da wollte ich auf Nummer sicher gehen.

Könnte auch sein, dass die gefundene Formel schon ab \(N=2\) gilt. Lass uns mal nachprüfen:$$S_2=\frac{1}{1\cdot2\cdot2!}=\frac14$$$$S_2=3-\sum\limits_{n=0}^2\frac{1}{n!}-\frac{1}{2\cdot2!}=3-1-1-\frac12-\frac14=\frac14$$

Die gefundene Formel gilt also sogar schon für \(N=2\).