Eigenraum zum Eigenwert bestimmen

Question

Ich habe zu einer Matrix alle Eigenwerte bestimmt und soll nun den dazugehöhrigen Eigenraum bestimmen. Ich habe bereits mein Lamda = -1 eingesetzt und mein Gleichungssystem bereits in Zeilen Stufen Form gebracht:

4  0  3

0  2  -2

0  0  0

Wie komme ich jetzt auf den Eigenraum? Kann mir das jemand an diesem Beispiel erklären?

Vielen Dank

Comments

Nach eifrig überlegen bin ich auf (-3,4,4 )gekommen. Aber wie mache ich das, wenn meine letzte Zeile keine Nullzeile ist. Hier z.B.

2  0  3  | 0

0  0  -2  | 0

0  0  -5 | 0

Als einzige logische Lösung erscheint mir (0,0,0), allerdings habe ich nicht das Gefühl, dass das richtig ist. Was meint ihr?

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Subtrahiere das 2,5-fache der zweiten Zeile von der dritten und erhalte eine Nullzeile.

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Stimmt, danke

Answer 1

Aloha :)

Wir gehen von deinem Zwischenergebnis aus:$$\begin{array}{rrr|c}x_1 & x_2 & x_3 & =\\\hline4 & 0 & 3 & 0 \\0 & 2 & -2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr|c}x_1 & x_2 & x_3 & =\\\hline1 & 0 & \frac34 & 0 \\0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}$$Wir haben zwei Bedingungen an die Koordinaten der Eigenvektoren:$$x_1+\frac34x_3=0\quad;\quad x_2-x_3=0\quad\implies\quad x_1=-\frac34x_3\quad;\quad x_2=x_3$$Damit lauten alle Vektoren des Lösungsraums:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac34x_3\\[1ex]x_3\\x_3\end{pmatrix}=\frac{x_3}{4}\begin{pmatrix}-3\\4\\4\end{pmatrix}$$Wir erhalten also zum Eigenwert $\lambda=-1$ den Eigenvektor $(-3|4|4)^T$.

Beachte, dass Eigenvektoren nur bis auf einen konstanten Faktor eindeutig sind.