Aufgabe
Konvergiert die Reihe∑n=1∞1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋯2n? \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n} ? n=1∑∞2⋅4⋅6⋯2n1⋅3⋅5⋯(2n−1)?
Ansatz:
Ich meine, die Folge an geht nicht gegen gegen Null und somit wäre die Reihe nicht konvergent! Würde das stimmen? Danke!
Aloha :)
Wenn du den Nenner eines positiven Bruchs vergrößerst, wird der Bruch kleiner. Daher können wir im Nenner jeden Faktor um 111 erhöhen und erhalten folgende Abschätzung:an=1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋯2n>1⋅3⋅5⋯(2n−1)3⋅5⋅7⋯(2n+1)=12n+1>12(n+1)a_n=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots2n}>\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{3\cdot5\cdot7\cdots(2n+1)}=\frac{1}{2n+1}>\frac{1}{2(n+1)}an=2⋅4⋅6⋯2n1⋅3⋅5⋯(2n−1)>3⋅5⋅7⋯(2n+1)1⋅3⋅5⋯(2n−1)=2n+11>2(n+1)1Da die harmonische Reihe divergiert ist klar, dass∑n=1∞an>12∑n=1∞1n+1=12∑n=2∞1n→∞\sum\limits_{n=1}^\infty a_n>\frac12\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}=\frac12\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n}\to\inftyn=1∑∞an>21n=1∑∞n+11=21n=2∑∞n1→∞
Die ersten Teilsummen dieser Reihe lauten ungefähr [0.5, 0.875, 1.1875, 1.4609375, 1.70703125, 1.932617187, 2.142089843, 2.338470458, 2.523941040, 2.700138092]. Was kann man da vermuten?
Dass es nicht konvergiert?
So sehe ich das auch. Ein Beweis ist das natürlich nicht.
Vielleicht kommt man so weiter:
Für das n-te Reihenglied kann man schreibenan=14n(2nn)a_n=\frac{1}{4^n}{{2n}\choose n}an=4n1(n2n)
Ein anderes Problem?
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