Zeige dass P{w}>0 für höchstens abzählbar viele w∈Ω gelten kann

Question

Aufgabe:

Hey Leute,

ich soll zeigen, dass P{w}>0 für höchstens abzählbar viele w∈Ω gelten kann.

Mein Problem ist, dass ich leider bisher nichts mit Stochastik zutun hatte und gerne mehr darüber lernen würde. Hat jemand vielleicht einen Ansatz für mich? Die Grundlagen der Mengenlehre habe ich jetzt soweit gut verstanden. Da hört es dann aber auch leider schon auf.

Bin für jede Hilfe Dankbar, da ich in Stochastik aktuell echt Probleme habe mitzukommen.

Answer 1

Hallo,

als Anfänger-Problem ist diese Aufgabe vielleicht nicht sooo geeignet. Es könnte so gehen (ich schreibe X statt Omega)

$$A:=\{ w \in X \mid P(\{w\})>0\}$$

Und für natürliches Zahlen n:

$$A_n:=\{w \in X\mid \frac{1}{n+1}<P(\{w\}) \leq\frac{1}{n}\}$$

Dann ist A disjunkte Vereinigung über alle \(A_n\). Diese enthalten aber jeweils maximal n Elemente; denn wenn es n+1 Elemente \(w_i\) wären, so:

$$P(A_n) \geq P(\{w_1\})+ \cdots P(\{w_{n+1}\})>\frac{n+1}{n+1}=1$$

Damit ist A abzählbar.

Gruß Mathhilf

Comments

Ich bin dir echt mega Dankbar für deine Antwort!

Verstehe ich das richtig, w ist eine Menge deren Potenzmenge größer als 0 sein soll. Also definiere ich einen Grundraum aus dessen Elementen w besteht. Da die Vereinigung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Elemente aus dem Grundraum Omega die Wahrscheinlichkeit 1 haben, hat die Menge von Elementen aus dem Grundraum prinzipiell die Wahrscheinlichkeit \( \frac{1}{n} \)  oder kleiner. Eigentlich kann die Menge w ja gar nicht Null sein, da sie aus Elementen des Grundraums besteht und da die leere Menge ja nicht enthalten ist oder ?

Ich habe leider noch nicht das wirkliche Verständnis für Stochastik, aber ich bin der auf jeden Fall super Dankbar für deine Antwort!

---

Verstehe ich das richtig, w ist eine Menge deren Potenzmenge größer als 0 sein soll.

Du hast ja die Aufgabe nicht vollständig formuliert. Mit Deinem Hinweis auf Stochastik habe ich dem Ganzen für mich einen Sinn gegeben.

Wenn Du jetzt aber so zurückfragst, dann weiß ich auch nicht. Was meinst Du überhaupt damit, dass ein Potenzmenge größer als Null ist?

---

Text erkannt:

2. Sei \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit \( \{\omega\} \in \mathcal{A} \) für alle \( \omega \in \Omega \). Zeigen Sie, dass \( P\{\omega\}> \) 0 für höchstens abzählbar viele \( \omega \in \Omega \) gelten kann.
Hinweis: Wie viele \( \omega \in \Omega \) mit \( P\{\omega\} \geq 1 / n \) kann es höchstens geben?
(3 Punkte)

Das ist die vollständige Aufgabe. Und unser Professor hat immer gesagt, dass dieses "P" die Potenzmenge darstellt, die ja eigentlich aus allen möglichen Mengen inklusive der leeren Menge und Ω besteht. Da das kleine Omega hier in geschwungenen Klammern ist, besteht es ja aus einer Menge. So wie ich mir das denke, ist es folgendermaßen:

Angenommen Ω:= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} und ich soll zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit der Menge w ≥ \( \frac{1}{n} \) ist. Dann ist die kleinste Wahrscheinlichkeit, die w annehmen kann ja die, wenn w aus nur einem Element besteht oder aus mehrmals dem gleichen Element z.B. w:={1} oder w:={1,1,1,1,}={1}. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt dann ja \( \frac{1}{10} \). Und aus je mehr Elementen w besteht, desto höher ist dann ja auch die Wahrscheinlichkeit P({w}). Beispielsweise w:={1,2,3} ⇒ P({w})= \( \frac{3}{10} \) und so weiter. Da w ja nicht aus keinem Element bestehen kann, da w ansonsten gleich der leeren Menge wäre, muss die P({w})>0 sein. Ich kann das nur nicht vernünftig mathematisch zeigen (wenn das überhaupt richtig ist). Tut mir echt leid, dass ich vielleicht sehr unverständlich bin.

Und danke für die Rückmeldung!

---

Nachmal: P ist in diesem Kontext nicht die Potenzmebge sondern das Wahrcheinlichkeitsmaß. Das klein-omega ist ein Element von Groß- Omega und keine Menge.

---

Ok dann würde ich das ganze vermutlich eher so lösen:

Angenommen Ω ist endlich:

1=P(Ω)

P(Ω)=∑P({w})= IΩI P({w})

⇔ P({w})= \( \frac{1}{IΩI} \)

Da die Mächtigkeit von Omega der Anzahl an Elementen in Omega entspricht können wir die Mächtigkeit von Omega ja auch als n angeben.

P({w})=\( \frac{1}{n} \) woraus ja dann folgt, dass P({w})>0 ist.

---

Das war nicht zu zeigen.

Außerdem folgt nicht, dass alle Elemente die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

---

Sorry @mathhilf könntest du vielleicht erläutern wie du \( \frac{1}{n+1} \) < P({ω}) ≤ \( \frac{1}{n} \) interpretierst, also ich verstehe das P({ω}) zwischen den Werten liegen soll, aber was \( \frac{1}{n+1} \) darstellen soll kann ich nicht wirklich verstehen, ich verstehe das es irgendwie mit einem Nachfolgerglied zutun haben muss, aber vielleicht könntest du es erläutern.

---

n sind natürliche Zahlen. Wir sprechen über Element w mit der Eigenschaft, dass Ihr Wahrscheinlichkeitsmaß als Einzelelement positiv ist. Wie kann eine Zahl positiv sein? Sie liegt zwischen 1/2 und 1, oder zwischen 1/3 und 1/2, oder zwischen 1/4 und 2/3 .....