Zeigen Sie, dass es höchstens abzählbar unendliche Teilmengen von N existieren

Question

Aufgabe:

Hausaufgabe 3.3
(a) Zeigen Sie, dass es höchstens abzählbar viele endliche Teilmengen von \( \mathbb{N} \) gibt, also dass
\( \mathcal{M}:=\{A \mid A \subseteq \mathbb{N}, A \text { endlich }\} \)
höchstens abzählbar ist.
(b) Ist die Aussage aus (a) weiterhin gültig, wenn die Menge der unendlichen Teilmengen von \( \mathbb{N} \) betrachtet wird? Beweisen Sie Ihre Antwort. Hinweis: Vielleicht hilft Ihnen hier eine andere Teilaufgabe. Sie dürfen die entsprechende Aussage auch dann verwenden, wenn Sie sie nicht bewiesen haben.

Problem/Ansatz:

Das Problem liegt hier in b), a) haben wir gelöst aber irgendwie hab ich keine Ahnung was ein Ansatz für b)ist,
obwohl sich nur die unendichkeit ändert.

Answer 1

Definiere \(f:\; \mathcal{M}\rightarrow \mathbb{N}\)

durch

\(f(A)=\sum_{n \in A}2^n\)

\(f\) ist injektiv und es gilt \(f(\mathcal{M})=\mathbb{N}\).

Comments

Eine beste Antwort trotz  a) haben wir gelöst lässt an eben dieser Aussage zweifeln.

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Tut mir Leid, das habe ich überlesen: "a) haben wir gelöst"

Zu b)

Betrachte die unendlichen Folgen \((a_0,a_1,a_2,\cdots)\)
Jeder Teilmenge \(A\) von N kann man auf umkehrbar eindeutige Weise
eine solche Folge\((a_n)\) zuordnen durch: \(a_n=f(A)_n=1\),
wenn \(n\in A\) und \(=0\),wenn \(n\notin A\).
Nun nimm an, du hättest eine vollständige (natürlich unendliche)
Liste aller dabei auftretenden Folgen.
Führe dies analog Cantor zu einem Widerspruch.