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Aufgabe:

Man zeige unter Verwendung der Körperaxiome für x, y, z ∈ K:

Zu je zwei Zahlen x, y ∈ K existiert genau eine Zahl z ∈ K mit x + z = y.


Problem/Ansatz:

Ich probiere jetzt schon seit einiger Zeit herum, jedoch finde ich keinen Ansatz um dieses Problem zu lösen.

Ich bin die Axiome der Addition immer wieder durchgegangen, kann aber kein sinnigen Ansatz finden.

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Eindeutigkeit

Wenn man zu beiden Seiten einer gültigen Gleichung das selbe addiert, dann bekommt man eine gültige Gleichung.

Wenn die Gleichung

        \(x + z = y\)

gültig ist, dann ist demnach auch die Gleichung

        \(a+ (x + z) = a+y\)

für jedes \(a\in K\) gültig. Mittels Assoziativgesetz lässt sich diese Gleichung umformen zu

        \((a+ x) + z = a+y\).

Die Zahl \(x\) hat ein Inverses \(-x\) bezüglich Addition. Wählt man \(-x\) für \(a\), dann bekommt man die Gleichung

        \((-x + x) + z = -x + y\)

welche sich umformen lässt zu

        \(0 + z = -x + y\)

und mittels Neutralität der 0 bezüglich Addition weiter zu

        \(z = -x + y\).

Zusammengefasst ergibt das, wenn \(x + z = y\) gilt, dann muss \(z = -x + y\) sein.

Existenz

Einsetzen von \(z = -x + y\) in \(x + z = y\) ergibt

        \(x + (-x + y) = y\).

Die linke Seite kann man mit Körperaxiomen zu \(y\) umformen, so dass die Gleichung

        \(y = y\)

entsteht. Diese Gleichung ist gültig.

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Ich habe jetzt nach längerem überlegen folgendes herausbekommen:

x+(-x) = 0    | additiv Inverses

x+(-x)+z = z | neutrales Element der Addition

x+z+(-x) = z | Kommutativität

(x+z)+(-x) = z | Assoziativität

y+(-x) = z | Wenn x+z=y ist

y = z+x | +x

x+z = y | Kommutativität


Das wäre keine Richtige Lösung, weil ich nach dem Prinzip Eindeutigkeit und Existenz beweisen muss?

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Zu \(x\in K\) existiert das additiv Inverse \(-x\).

Für \(z:=(-x)+y\) gilt dann \(z\in K\) mit

\(x+z=x+((-x)+y)=((-x)+x)+y=0+y=y\)

Damit ist die Existenz von \(z\) gezeigt.

Eindeutigkeit:

Sei \(x+z_1=y=x+z_2\).

Dann gilt

\(z_1=0+z_1=((-x)+x)+z_1=(-x)+(x+z_1)=(-x)+y=\)

\(=(-x)+(x+z_2)=((-x)+x)+z_2=0+z_2=z_2\).

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