Gehören die Punkte A und B zu der Kugel?

Question

Die Kugel mit Radius \( \sqrt{5} \) und Mittelpunkt \( M=(0,1,0) \) (einschließlich Kugeloberfläche) wird im \( \mathbb{R}^{3} \) beschrieben durch
\( K_{\sqrt{5}}(M)=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}:\left\|\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right\| \leq \sqrt{5}\right\} . \)
Entscheiden Sie, ob \( A \) und \( B \) zu \( K_{\sqrt{5}}(M) \) gehören.

Hallo,

kurz vorab die Punkte lauten: A(1,-4,3) und B(0,-1,-1).

Ich hatte versucht zunächst die Punkte einzusetzen für x₁-x₃ . Mein Lösung war den \( \begin{pmatrix} 1\\-5\\3 \end{pmatrix}\) Allerdings ist mir jetzt ein wenig unklar wie ich weiter vorgehen soll damit ich die Bedingungen erfüllen kann bzw. woher weiß ich jetzt, dass mein Vektor kleiner, gleich \( \sqrt{5} \) ist?

Answer 1

|[1, -4, 3] - [0, 1, 0]| = |[1, -5, 3]| = √(1^2 + 5^2 + 3^2) = √35 > √5

Damit gehört der Punkt A nicht zur Kugel

|[0, -1, -1] - [0, 1, 0]| = |[0, -2, -1]| = √(0^2 + 2^2 + 1^2) = √5 = √5

Damit gehört der Punkt B zur Kugel.