Hilfe bei der Linearen Algebra

Question

Aufgabe: Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

Seien k, m, n ∈ Z. Dann gilt entweder m + kZ = n + kZ oder (m + kZ) ∩ (n + kZ) = ∅.

…

Problem/Ansatz:

(Nur ein Beispiel)

1. m-n = ak: a∈Z dann:
m+kZ = n+kZ wie z.B. 5+3Z = 2+3Z
2. m-n ≠ ak: a∈Z dann:
(m+kZ)∩(n+kZ) = ∅ Bsp: 5+3Z ∩ 4+3Z = ∅

ich weiß jetzt leider nicht, wie ich die Aussage beweisen soll, in meinen Augen ist sie wahr.

Answer 1

Benutze \(m+kZ=n+kZ\iff (m-n)+kZ=kZ\iff k\;|\;(m-n)\).

Comments

Danke!

Ist somit die Aussage m + kZ = n + kZ bewiesen? Oder muss ich dem noch etwas hinzufügen. Zudem weiß ich nicht, ob wir das Symbol hinter dem letzen K " | " schon hatten bzw. benutzen dürfen.

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Ist somit die Aussage m + kZ = n + kZ bewiesen?

Nein. Ich habe nur gezeigt, dass

"m+kZ=n+kZ" äquivalent ist zu der Aussage "k ist ein Teiler von m-n" .

Wisst ihr denn, was eine Äquivalenzrelation ist und wie

sich die Äquivalenzklasse zueinander verhalten?

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Ah jetzt verstehe ich, aber hilft die Aussage, dass k ein Teiler von m-n ist bei der Beweisung, dass m+kZ = n+kZ? oder widerspricht das der Aussage?

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Nein, nein, das widerspricht dem nicht, sondern ist damit

gleichbedeutend. Die Aussage, die du beweisen sollst, ist

logisch etwas umgeformt:

\((m+kZ)\cap (n+kZ)\neq \emptyset \Rightarrow m+kZ=n+kZ\)

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ah, jetzt habe ich es mit dem Teiler verstanden, danke!