Gleichungssysteme der Linearen Algebra

Question

kann mir jemand bei dieser Aufgabe bitte helfen?

Gegeben sind die Vektoren:

a = \( \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix} \)

b = \( \begin{pmatrix} 3\\4\\1 \end{pmatrix} \)

c = \( \begin{pmatrix} 2\\4\\6 \end{pmatrix} \)

d = \( \begin{pmatrix} 2\\3\\-3\end{pmatrix} \)

a) Zeigen Sie, dass ein mit a , b und c als Koeffizientenvektoren und d als Ergebnisvektor aufgestelltes Gleichungssystem keine Lösung hat!

b) Welchen Wert muss die erste Komponente d1 des Vektors d haben, damit das dadurch entstehende neue Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat (d2 und d3 (die 2 und 3 sind unten geschrieben) sollen nicht verändert werden!)?

c) Berechnen Sie eine dieser Lösungen!

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen...

Answer 1

\( \begin{pmatrix} 2 & 3&2&|&d_1 \\ 3 & 4&4&|&3\\2&1&6&|&-3 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 2&1&6&|&-3\\ 3 & 4&4&|&3\\2 & 3&2&|&d_1\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}1 &1/2&3&|&-3/2\\ 3 & 4&4&|&3\\2 & 3&2&|&d_1\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}1 &1/2&3&|&-3/2\\  0& 5/2&-5&|&15/2\\ 0&2 &-4&|&d_1+3\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}1 &1/2&3&|&-3/2\\  0& 1&-2&|&3\\ 0&2 &-4&|&d1+3\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}1 &1/2&3&|&-3/2\\  0& 1&-2&|&3\\ 0&0&0&|&d_1-3\end{pmatrix} \)

b)

für \(d_1=3\) gibt es unendlich viele Lösungen

a)

Sonst gibt es keine Lösung, da es zum Widerspruch kommt.

c)

\( \begin{pmatrix}1 &0&4&|&-3\\  0& 1&-2&|&3\\ 0&0&0&|&d_1-3\end{pmatrix} \)

Eine mögliche Lösung

$$ x_1=-3 ; x_2=3 ; x_3 =0$$

Comments

Zu den Matrizen ganz oben: Welche Aufgabe ist das? a oder b)?

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Die Matrizen gehören zu a, b und c

Durch die allgemeine Form, habe ich gezeigt, dass es unendlich viele Möglichkeiten bei d1=3 gibt.

Wenn d≠3, gibt es einen Widerspruch.

2≠3 also gibt es keine Lösung für a)

Falls aber d=3, habe ich für c) wie gefordert eine der vielen Möglichkeiten angegeben.

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Ok, vielen Dank dir! :)

Answer 2

Zu a)

(1) 2·x + 3·y + 2·z = 2,

(2) 3·x + 4·y + 4·z = 3,

(3) 2·x + y + 6·z = -3

(1)-(3)=        (4) 2x-4z=5

3·(1) - 2·(2)=(5) y-2z=0

(4) und (5) erzeugen einen Widerspruch (5=0).

Comments

Vielen Dank, kannst du bitte mir bei b) und c) auch helfen?

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hallo setze in der ersten Gleichung statt rechts die 2 ein a ein, wie kannst du a wählen, damit jetzt ne Lösung entsteht? da du jetzt eine der Variablen beliebig wählen kannst, am einfachsten z, hast du beliebig viele Losungen, eine davon sollst du in c) angeben,

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Wie genau soll denn das nun aussehen?

b)

2x + 3y + 2z = a

Ist das so richtig?

Was soll ich nun machen?