Matrix mit vorhandener Gleichung beweisen

Question

Nabend Leute,

Gegeben ist die Matrix $$ σ_{x}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

und man soll beweisen, dass folgendes gilt: $$ e^{iaσx}=1 cos(a)+iσ_{x}sin(a) $$

(hierbei stellt die 1 die 2x2 Einheitsmatrix dar)

Werde nicht so ganz schlau, was mit Zeigen Sie gemeint ist - Ich bedanke mich im Voraus.

Gruß,

IceTeX

Answer 1

Werde nicht so ganz schlau, was mit Zeigen Sie gemeint ist

Berechnen und schauen, ob es stimmt!

Es ist$$e^{ia\sigma<<>_x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(ia\sigma_x)^n$$Die reellen Summanden sind hier$$\frac{1}{(2n)!}(-1)^na^{2n}\cdot I$$Die Summe von \(n=0\) bis \(\infty\) ergibt$$\cos(a)\cdot I$$Der Imaginärteil berechnet sich aus den ungeraden

Summanden entsprechend, wobei \(\sigma_x^{2n+1}=\sigma_x\) ist