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Aufgabe:

Aussagen zum Matrix-Exponential.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen zum Matrix-Exponential.
a) Ist P ∈ ℝk×k eine Projektionsmatrix, d.h. P2 = P, dann gilt eP = Id + (e − 1)P mit der Einheitsmatrix Id ∈ ℝk×k .


b) Ist A ∈ ℝk×k und f : ℝ → ℝ eine stetig differenzierbare Funktion, dann folgt

\( \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \mathrm{e}^{f(t) A}\right|_{t=t_{0}}=f^{\prime}\left(t_{0}\right) A \mathrm{e}^{f\left(t_{0}\right) A} \)

für beliebiges t0 ∈ ℝ.


Hallo zusammen, könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

von

1 Antwort

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Beste Antwort

a)Nach Def. gilt $$e^P =\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{P^n}{n!} $$
wegen P^n=P für n und P^0= Einheitsmatrix, also Abb id
$$=id+ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{P}{n!} =id + P*\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} =id + P*(e-1)$$

Weil bei der e-Reihe die 1 fehlt.

von 214 k 🚀

Danke erstmal für deine tolle Antwort! :)

Könntest du mir bitte bei b) helfen?

Vielen Dank im Voraus!..

Hallo,

sollte es nicht eher n! statt n heißen?

Gruß MathePeter

Oh ja, Danke. Ich korrigiere mal.

Bei b) habe ich noch keinen Plan.

Für b) einfach die Reihe aufstellen und gliedweise differenzieren.

Gruß MathePeter

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