Analytische Geometrie: Zeigen, dass die Dreiecke in parallelen Ebenen liegen

Question

die Aufgabe lautet :

Zeigen Sie, dass die Dreiecke ABC und DEF in parallelen Ebenen liegen.
A(2|0|0) , B(4|2|0) , C(4|0|2)
D(2|4|4) , E(0|2|4) , F(0|4|2)
Dankeschön ! (:

Answer 1

AB = [2, 2, 0]
AC = [2, 0, 2]

DE = [-2, -2, 0]
DF = [-2, 0, -2]

DE ist parallel zu AB und DF ist parallel zu AC. Damit ist die von DEF aufgespannte Ebene parallel (echt oder unecht) zur Ebene die von ABC aufgespannt wird.

Um die echte parallelität zu zeigen solltest du noch zeigen das D nicht in der Ebene von ABC liegt. Kannst du das selber machen ?

Comments

Ja, das kann ich selber machen denke ich. da muss ich eine Ebene Gleichung der DEF bilden in Koordinatenform und D dann einsetzen oder?

Brauche ich dazu keine Lotgerade ?

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Können Sie mir bitte eine komplete Rechnung zeigen ? Ich glaube, dass ich es noch nicht ganz verstanden habe.
Braucht man dazu also keine Lotgerade zwischen der beiden Dreiecke ? Denn danach muss ich noch den Abstand dieser beiden Ebenen berechnen.

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Es gibt zwei Möglichkeiten einmal die Ebene und den Punkt gleichsetzen. Das ist hier eventuell die einfachste Variante.

OA + r * AB + s * AC = D

[2, 0, 0] + r * [2, 2, 0] + s * [2, 0, 2] = [2, 4, 4]

Daraus ergibt sich jetzt das Gleichungssystem

2r + 2s = 0
2r = 4
2s = 4

Also die beiden unteren Gleichungen ergeben r = s = 2 womit die erste aber dann nicht erfüllt ist. Also gibt es hier keine Lösung und D gehört nicht zur Ebene von ABC.

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Danke, und warum muss ich dann zeigen dass der Punkt D nicht zur Ebene ABC liegt, und nicht der Punkt E oder Punkt F?

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Du kannst auch zeigen das irgendein anderer Punkt der Ebene nicht in ABC liegt. Das ist hier egal. Es langt aber es mit einem Punkt zu zeigen. Damit sind die Ebenen dann echt parallel.

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Hier als Ergänzung die beiden Dreiecke im Raum mit den o. g. Vektoren.