Zeigen Sie, für die Gradienten Richtung

Question

Aufgabe:

Es sei \( f: X \rightarrow \mathbb{R}, X \subset \mathbb{R}^{n} \) (total) differenzierbar an \( x \in X \) mit \( \nabla f(x) \neq 0 \). Zeigen Sie, dass für die (Gradienten-)Richtung
\( \tilde{d}:=\frac{\nabla f(x)}{\|\nabla f(x)\|} \)
und jede beliebige Richtung \( d \) gilt
\( \partial_{-\tilde{d}} f(x) \leq \partial_{d} f(x) \leq \partial_{\tilde{d}} f(x) . \)

Problem/Ansatz:

Hinweis: Cauchy-Schwarz Ungleichung

Comments

Wie lässt sich denn eine Richtungsableitung mit Hilfe des Gradienten und des Skalarprodukts schreiben?