Beweis, dass g(f)x))=x für alle Zahlen außer 1/2

Question

Gegeben sei f: R \{$\frac{1}{2}$ } und g: R \{$\frac{1}{2}$}

f(x)=$\frac{x+4}{2x-1}$

g(y)=$\frac{-y-4}{1-2y}$

Zeigen Sie: g(f(x))=x für alle x  \{$\frac{1}{2}$} und f(g(y))=y für alle y \{$\frac{1}{2}$}

Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe muss ich doch f(x) in g(x) einsetzten und Zeigen, dass die Funktion für alle Zahlen definiert ist aus für 1/2. Ich weiß, aber nicht wie man da vorgeht setzte ich dann einfach für alle x Werte y ein?

Answer 1

Du musst einmal $$g(f(x)) = \frac{ -\frac{ x + 4 }{2x - 1 } - 4 }{ 1-2 \cdot \frac{ x + 4 } { 2x - 1 } }$$ und einmal

$$f(g(y)) = \frac{ \frac{-y - 4}{ 1 - 2y } +4} { 2 \cdot \frac{-y - 4}{ 1 - 2y } - 1 }$$ ausrechnen.

Das ergibt jedes entweder $x$ oder $y$.

Aber der Nenner bei beiden Ausdrücken wird Null für $x = y = \frac{1}{2}$ und deshalb ist der Bruch dort nicht definiert.

Du knnst aber den Grenzwert für $x,y \to \frac{1}{2}$ berechnen.

Answer 2

$f(g(y))=\frac{g(y)+4}{2g(y)-1}=\frac{\frac{-y-4}{1-2y}+4}{2\frac{-y-4}{1-2y}-1}$

Rechne dies weiter und schau, ob $y$ dabei herauskommt.

Entsprechend mit $g(f(x))=x$.

Answer 3

$f(x) = \frac{x+4}{2x-1}$      und   $g(y)= \frac{-y-4}{1-2y}$

==>   g(f(x))    $= \frac{- \frac{x+4}{2x-1}-4}{1-2 \frac{x+4}{2x-1}}$  mit 2x-1 erweitern

              $= \frac{-(x+4) -4(2x-1)}{(2x-1)-2(x+4) }$

                          $= \frac{-x-4 -8x+4}{2x-1-2x-8 } = \frac{-9x}{-9} = x$