Konvergierende Folgen/Stetigkeit

Question

Guten Tag, ich habe folgende Aufgaben erhalten und wollte fragen ob irgendjemand mir konkrete Lösungswege schildern könnte da ich leider beim besten Willen nicht weiterkomme. MfG

a) Untersuchen sie, ob die folgenden Folgen konvergieren und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert.

(i) \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( x_{n}:=\frac{\pi}{2 n+1} \cdot\left(\frac{3 n^{3}+5 n}{n^{2}+2}-5 n\right) \)

(ii) \( \left(x_{n}\right)_{n \geq 1} \) mit \( x_{n}:=\sqrt{n^{4}+8 n^{2}-1}-\left(n^{2}+2\right) \)

Hinweis: Hier kann eine Erweiterung der Form a-b = (a-b) × (a+b/a+b) unter Verwendung der dritten binomischen Formel hilfreich sein. Die Stetigkeit der Wurzelfunktion darf hier ebenfalls verwendet werden.

b) Gegeben sei die Funktion f: R -> R, definiert durch:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & , x<0 \\ e^{-2 x^{2}}, & , 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\cos \left(x^{2}+x-2\right) \cdot e^{2 x-4}}{\left(x^{2}+3 x+2\right)} & , x>1\end{array}\right. \)

 Überprüfen sie f mithilfe des Kriteriums auf Stetigkeit.

Answer 1

\( \frac{\pi}{2 n+1} \cdot\left(\frac{3 n^{3}+5 n}{n^{2}+2}-5 n\right) \)

\(= \frac{\pi}{2 n+1} \cdot\left(\frac{-2 n^{3}-5 n}{n^{2}+2}\right) \)

\(= \pi \cdot\left(\frac{-2 n^{3}-5 n}{(n^{2}+2)(2n+1)}\right) \)

\(= \pi \cdot\left(\frac{-2 n^{3}-5 n}{2n^{3}+n^2 4n+2}\right) \)

Also Grenzwert -π.

\( \sqrt{n^{4}+8 n^{2}-1}-\left(n^{2}+2\right) \)

\( =\frac{ (\sqrt{n^{4}+8 n^{2}-1}-\left(n^{2}+2\right)) \cdot (\sqrt{n^{4}+8 n^{2}-1}+\left(n^{2}+2\right)) } {\sqrt{n^{4}+8 n^{2}-1}+\left(n^{2}+2\right)}\)   dann 3. binomi.

\( =\frac{ (n^{4}+8 n^{2}-1)-\left(n^{2}+2\right)^2 } {\sqrt{n^{4}+8 n^{2}-1}+\left(n^{2}+2\right)}\) 

\( =\frac{ (n^{4}+8 n^{2}-1)-\left(n^{4}+4n^2 + 4\right)} {\sqrt{n^{4}+8 n^{2}-1}+\left(n^{2}+2\right)}\)

\( =\frac{ 4 n^{2}-5  } {\sqrt{n^{4}+8 n^{2}-1}+\left(n^{2}+2\right)}\)

\( =\frac{ 4 n^{2}-5  } {n^2 \cdot \sqrt{1+\frac{8}{n^2}-\frac{1}{n^4}}+\left(n^{2}+2\right)}\)

Also Grenzwert 4 / ( 1 + 1 )   = 2

Answer 2

Einfach den Hinweis umsetzen, alles ausrechnen und dan den Grenzwert bilden, fertig.