Zeigen Sie, dass die Menge nicht nach unten beschränkt ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass M2 nicht nach unten beschränkt ist.
\(M_{2} = \{\frac{x}{x+1}:x\in \mathbb{R}, x > -1\}\)

Problem/Ansatz:

Meiner Meinung nach ist die Menge nicht nach unten beschränkt:

Denn wenn x gegen -1 geht, geht M2 gegen minus unendlich.

Die Negation der Def. der unteren Schranke u lautet:

\(\exists x \in M : x<u\)

Wie zeige ich das jetzt? Nehme ich ein festen Wert für u und x oder wie mache ich den Beweis, wie zeige ich, dass die Menge M2 nicht nach unten beschänkt ist?

Answer 1

Aloha :)

Es soll \(x>-1\) gelten. Wir schauen uns an, was im Grenzwert passiert:$$\lim\limits_{x\searrow-1}\frac{x}{x+1}=\lim\limits_{x\searrow-1}\frac{x+1-1}{x+1}=\lim\limits_{x\searrow-1}\left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)=\lim\limits_{x\searrow-1}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)=-\infty$$

Wenn \(x\) von oben her gegen \((-1)\) läuft, konvergiert der Ausdruck \(\frac{x}{x+1}\) gegen \((-\infty)\).

Es gibt also keine untere Schranke.

Comments

Danke Dir für Deine Antwort Tschakabumba,

ist gut verständlich:)

Answer 2

x/(x + 1) < u
x < u(x + 1)
x < ux + u
x - ux < u
x(1 - u) < u
x < u/(1 - u)

So kann jedes vorgegebene u als Funktionswert unterschritten werden.

Comments

Danke Dir.

Ja stimmt, so zeigt man, dass für jedes u man ein kleines x finden kann!

Answer 3

ist die Menge nicht nach unten beschränkt

Wäre die Menge \(M_2\) nach unten beschränkt, dann wäre die Aufgabenstellung "Zeigen Sie, dass \(M_2\) nicht nach unten beschränkt ist." falsch gestellt.

Denn wenn x gegen -1 geht, geht \(M_2\) gegen minus unendlich.

\(M_2\) geht nicht gegen \(-\infty\).

\(\frac{x}{x+1}\) geht gegen \(-\infty\) wenn \(x\) von oben gegen \(-1\) geht.

Wie zeige ich das jetzt?

Sei \(y\in \mathbb{R}\).

Gib ein \(x\in \mathbb{R}\) mit \(x > -1\) an, so dass \(\frac{x}{x+1} < y\) ist.

Comments

Danke.

Ja stimmt der Term \(\frac{x}{x+1}\) geht gegen minus unendlich (und nicht M2), wenn x (von oben) gegen -1 geht!