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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass M2 nicht nach unten beschränkt ist.
M2={xx+1 : xR,x>1}M_{2} = \{\frac{x}{x+1}:x\in \mathbb{R}, x > -1\}


Problem/Ansatz:

Meiner Meinung nach ist die Menge nicht nach unten beschränkt:

Denn wenn x gegen -1 geht, geht M2 gegen minus unendlich.

Die Negation der Def. der unteren Schranke u lautet:

xM : x<u\exists x \in M : x<u

Wie zeige ich das jetzt? Nehme ich ein festen Wert für u und x oder wie mache ich den Beweis, wie zeige ich, dass die Menge M2 nicht nach unten beschänkt ist?

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Aloha :)

Es soll x>1x>-1 gelten. Wir schauen uns an, was im Grenzwert passiert:limx1xx+1=limx1x+11x+1=limx1(x+1x+11x+1)=limx1(11x+1)=\lim\limits_{x\searrow-1}\frac{x}{x+1}=\lim\limits_{x\searrow-1}\frac{x+1-1}{x+1}=\lim\limits_{x\searrow-1}\left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)=\lim\limits_{x\searrow-1}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)=-\infty

Wenn xx von oben her gegen (1)(-1) läuft, konvergiert der Ausdruck xx+1\frac{x}{x+1} gegen ()(-\infty).

Es gibt also keine untere Schranke.

Avatar von 153 k 🚀

Danke Dir für Deine Antwort Tschakabumba,

ist gut verständlich:)

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x/(x + 1) < u
x < u(x + 1)
x < ux + u
x - ux < u
x(1 - u) < u
x < u/(1 - u)

So kann jedes vorgegebene u als Funktionswert unterschritten werden.

Avatar von 493 k 🚀

Danke Dir.

Ja stimmt, so zeigt man, dass für jedes u man ein kleines x finden kann!

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ist die Menge nicht nach unten beschränkt

Wäre die Menge M2M_2 nach unten beschränkt, dann wäre die Aufgabenstellung "Zeigen Sie, dass M2M_2 nicht nach unten beschränkt ist." falsch gestellt.

Denn wenn x gegen -1 geht, geht M2M_2 gegen minus unendlich.

M2M_2 geht nicht gegen -\infty.

xx+1\frac{x}{x+1} geht gegen -\infty wenn xx von oben gegen 1-1 geht.

Wie zeige ich das jetzt?

Sei yRy\in \mathbb{R}.

Gib ein xRx\in \mathbb{R} mit x>1x > -1 an, so dass xx+1<y\frac{x}{x+1} < y ist.

Avatar von 107 k 🚀

Danke.

Ja stimmt der Term xx+1\frac{x}{x+1} geht gegen minus unendlich (und nicht M2), wenn x (von oben) gegen -1 geht!

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