Was ist x in diesem Zusammenhang?

Question

Aufgabe:

Was ist x?

zusätzlich: z + k = 13

Problem/Ansatz:

Satz des Pythagoras

Comments

Was ist x in diesem Zusammenhang?

x ist die Länge der Strecke BD.

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Ich meine einen konkreten Zahlenwert

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Ich meine einen konkreten Zahlenwert

um den zu finden, fehlt noch eine Bedingung. So wie es oben steht, kann \(x\) jeden Wert zwischen 0 und 10 und darüber hinaus annehmen.

Ist die Strecke \(|DC|\) gegeben? Dann gäbe es zwei Lösungen für \(x\).

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Weitere Daten sind nicht gegeben nur, dass z + k = 13

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Weiterhin sollten rechte Winkel als solche bezeichnet werden. Wer stellt solch schreckliche Aufgaben?

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Weitere Daten sind nicht gegeben nur, dass z + k = 13

Dann veröffentliche mal die original Aufgabe. Vermutlich werden wir dann noch eine Bedingung entdecken, die du übersehen hast.

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Weitere Daten sind nicht gegeben nur, dass z + k = 13

Letzteres hatte ich bereits berücksichtigt. Dann gibt es unendlich viele Lösungen für \(x \in \mathbb R\) (mit gewissen Einschränkungen). Suche Dir eine aus ;-)

Der Punkt \(C\) kann überall auf dieser Ellipse liegen:

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Es ist nur x gesucht

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Wenn d die Länge der Strecke CD ist:

Löse das Gleichungssystem

\(\displaystyle x^{2}+d^{2}=(13-k)^{2} \\ \\ (d+2)^{2}+(10-x)^{2}=k^{2} \)

x ist ca. 3,8

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Es ist nur x gesucht

x kann z.B. 0 sein.

x kann aber auch 10 sein.

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Es ist nur x gesucht

Ja - das hatten wir auch so verstanden. Steht auch oben in Deiner Frage ;-)

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Wenn BCD ein gleichschenklig, rechtwinkliges Dreieck ist, dann gilt

x = - √(13·√2 + 8) + 13·√2/2 + 1 ≈ 5.056

Das hat aber nichts mehr mit seriöser Mathematik zu tun, wenn man zu viele nicht gemachte Angaben selber treffen muss.

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Wenn bei C ein rechter Winkel ist, dann ist die Strecke $$AB = \sqrt{104}$$

Also hat man 2 Gleichungen:

$$z + k = 13$$

und $$z^2+k^2=104$$

Oder?

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Meine Lösung braucht keinen rechten Winkel bei C.

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Wieso AB = \( \sqrt{104} \)?

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Wenn bei C ein rechter Winkel ist, dann ist die Strecke

Wenn das Wörtchen "wenn" nicht wär, ...

Wieso AB = \( \sqrt{104} \)?

Satz des Pythagoras?

AB^2 = 10^2 + 2^2
AB = √(10^2 + 2^2)

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Wie wird so ein Gleichungssytem gelöst?

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Wie wird so ein Gleichungssytem gelöst?

Zunächst müsste man mal ein Gleichungssystem haben, dass es zu lösen gilt.

Um eine eindeutige Lösung zu erhalten fehlen in der von dir gelieferten Aufgabenstellung Informationen.

Ich glaube es macht erst Sinn weiter zu diskutieren, wenn du die korrekte Aufgabenstellung zur verfügung stellst.

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@döschwo hat doch bereits eins weiter oben gegeben

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@döschwo hat doch bereits eins weiter oben gegeben

Angegeben wurde

x^2 + d^2 = (13 - k)^2
(d + 2)^2 + (10 - x)^2 = k^2

Das sind 2 Gleichungen mit 3 unbekannten was in der regel keine eindeutige Lösung gibt.

Ich vermute Werner-Salomon hat genau diese Lösungsmenge skizziert.

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Wie kommt döschwo dann auf ca. 3.8

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Wie kommt döschwo dann auf ca. 3.8

Ich weiß nicht was döschwo sonst noch angenommen hat, was die anderen nicht aus der Aufgabe herauslesen können.

Aber das kann er dir ja selber sagen.

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Ich vermute Werner-Salomon hat genau diese Lösungsmenge skizziert.

genau so ist das! Auf der Ellipse liegen alle Punkte, deren X-Koordinate das Gleichungssystem von döschwo erfüllen.

Ich habe oben den Graphen noch mal angepasst (s.o.). Die Summe aus den beiden grünen Strecken ist immer \(z+k=13\). Die gesuchte Strecke \(x\)  ist rot eingezeichnet.

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D.h. mit einem weiteren Wert könnte man x bestimmen

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D.h. mit einem weiteren Wert könnte man x bestimmen

Es muss kein Wert sein, Es langt eine weitere Bedingung.

Z.B.

• BCD ist rechtwinklig und gleichschenklig
• ABC ist rechtwinklig
• CD hat die Länge ...

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Am Punkt C kommt eine Masse mit 15 kg auf einer Rolle ins Gleichgewicht

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Am Punkt C kommt eine Masse mit 15 kg auf einer Rolle ins Gleichgewicht

Schön, dass Dir das noch einfällt, nachdem vier Leute sich mit der Aufgabe beschäftigt haben. Und mehrmals geschrieben haben, dass die Aufgabe unvollständig ist.

Hellsehen ist so schrecklich anstrengend. Ich mache es nur bei Vollmond, z.B. heute.

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Welche Informationen erhält man dadurch?

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Welche Informationen

Kräftegleichgewicht führt zu x ≈ 3,79614

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Wie kommt man dahin?

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Wie kommt man dahin?

Wurde ja schon gesagt, entweder über ein Kräftegleichgewicht, über ein Energieminimum bzw. den größten Durchhang d auf der gezeichneten Ellipse.

Ich kann eine Lösung von x = 5 - 10/69·√69 = 3.796 bestätigen.

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Am Punkt C kommt eine Masse mit 15 kg auf einer Rolle ins Gleichgewicht
Welche Informationen erhält man dadurch?

Die Winkelhalbierende bei \(C\) steht senkrecht. Bzw. Die Tangente an die Ellipse in \(C\) steht waagerecht, ist also ein Tiefpunkt der Ellipse. Macht ja auch Sinn, ist ein Energieminimum ...

Formal heißt das z.B.:$$ \frac{|DC|}{x} = \frac{|DC|+2}{10-x} $$

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Wie kommt man dahin?

ich mag je graphische Lösungen, was in diesem Fall vergleichsweise simpel ist:

damit komme ich auf \(x=|BD|\approx 3,796\)

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Was wäre alternativ ohne Grafik der Weg?

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Das hat Dir Werner doch gestern hingeschrieben... man nimmt als dritte Gleichung zu den beiden von mir genannten jene, die nach seinen Worten "Formal heißt das z.B.:" steht.

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Vielen Dank für die Mühe.

Also ist bei C ein rechter Winkel

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Vielen Dank für die Mühe.

Also ist bei C ein rechter Winkel

Bereits an der Skizze von Werner-Salomon solltest du erkennen können das die Strecke BD länger ist als die Strecke CD. Damit ist im Dreieck BCD bei C kein Winkel von 45 Grad sondern ein etwas größerer Winkel. Da CD den gesamten Winkel bei C halbiert ist auch dieser größer als 90 Grad und somit kein rechter Winkel.

Natürlich lässt sich der Winkel auch berechnen. Das brauchst du aber denke ich nicht machen oder gehört das zur Aufgabe?

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Ja sollte aber nicht so schwer sein

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Ja sollte aber nicht so schwer sein

Richtig. Da folgender Zusammenhang gilt.

√(x^2 + y^2) + √((10 - x)^2 + (y + 2)^2) = 13

Kannst du aus dem bekannten x auch y berechnen und damit den Winkel DCB. Diesen kannst du dann einfach noch verdoppeln.

Oder du machst das gleiche Spiel noch mit dem Winkel.

Ich komme rein zur Kontrolle auf einen Winkel von α = 100.57°

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Wenn die Aufgabe darin besteht, die Seil- und Lagerkräfte zu berechnen, ist die Kenntnis (bzw. Berechnung) von \(x=|BD|\) nicht notwendig!

'Hängt' an der Rolle eine Kraft \(F\) und teilt man die Kräfte in den vertikalen \(F_y\) und horizontalen \(F_x\) Anteil, dann kannst Du aus meiner Skizze mehr oder weniger ablesen, dass $$F_y = \frac 12 F, \quad \quad F_x = \frac{|BD|}{|DC|} F_y= \frac{10}{\sqrt{13^2-10^2}} F_y = \frac{5}{\sqrt{69}}F$$

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Wie erstelle ich sowas in Desmos?

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Wie erstelle ich sowas in Desmos?

Klicke in dem Desmos-Bild unten rechts auf 'edit graph on Desmos', dann öffnet sich das Desmos-Fenster und links kannst Du Dir das 'Script' ansehen.

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Wie kriegt man das Minimum der Ellipse hin in Desmos?

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Wie kriegt man das Minimum der Ellipse hin in Desmos?

Kommt drauf an, was Du unter 'hinkriegen' verstehst. Desmos kann zwar auch rechnen, aber nur das, was man eingibt. D.h. es ist eine konkrete Formel notwendig. Da kann Desmos dann was zeichnen oder auch konkret berechnen. Je nachdem, um was es sich handelt.

Ein Minimum (oder Maximum) einer beliebigen Funktion kann Desmos nicht ad hoc berechnen. Ableitungen können schon berechnet werden, aber nur die einer expliziten Funktion.

Wenn Du das Minimum suchst, so ist es wohl am einfachsten die SKizze der graphischen Konstruktion einer Ellipse als Grundlage zu nehmen. Der Y-Wert \(y_{\min}=-|DC|\) des Minimums ist der Y-Wert des Punktes \(M\) - also die Mitte der Strecke \(AA^*\). \(A^*\) ist der an der Tangente (grün) gespiegelte Punkt \(A\). Dann ist$$y_{\min} = \frac12\left(A_y + A_y^*\right) \\ A_y^* = A_y - 2 - \sqrt{13^2-(A_x-B_x)^2} = A_y -(2+\sqrt{69}) \\ \implies y_{\min} = \frac12\left(2A_y - (2+\sqrt{69})\right) = \frac12\left(2-\sqrt{69}\right)$$und den X-Wert \(x_{\min}\) bekommst Du dann aus der Gleichung, die oberhalb der Skizze in meinem Kommentar steht.

Answer 1

Damit die Frage nicht unbeantwortet bleibt, nachdem sich der Fragesteller nach einigem Hin und Her nun alle Informationen hat entlocken lassen:

\(\displaystyle x= 5-\frac{10}{\sqrt{69}} = 3,7961414691423... \)