Ebene bildet Pyramide Parameter c wird gesucht

Question

Aufgabe:

Gegeben ist E: 9x + 16y + cz - 144 = 0. Es schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten A, B und C. O beschreibt den Koordinatenursprung. Jetzt soll man c so bestimmen, sodass die Pyramide OABC das Volumen V = 384 besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Achsenabschitte A, B und C (in Abhängigkeit von klein c)

A(16/0/0) und B(0/9/0) und C(0/0/144/c)

Nun weiss ich nicht weiter, wie man c ausrechnen kann

Answer 1

Aloha :)

Wir haben die Ebenengleichung:$$E\colon 9x+16y+cz=144$$Wir normalisieren indem wir durch \(144\) dividieren:$$E\colon\frac{x}{16}+\frac{y}{9}+\frac{z}{\frac{144}{c}}=1$$und lesen die Schnittpunkte mit den Achsen ab:$$A(16|0|0)\quad;\quad B(0|9|0)\quad;\quad C\left(0\bigg|0\bigg|\frac{144}{c}\right)$$Gemeinsam mit dem Nullpunkt \((0|0|0)\) bilden sie die Eckpunkte einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche \(0AB\). Das Volumen einer Pyramide ist ein Drittel Grundfläche mal Höhe:$$V=\frac13\cdot\underbrace{\frac12\cdot9\cdot16}_{\text{Dreieck}}\cdot\underbrace{\frac{144}{c}}_{\text{Höhe}}=\frac{3456}{c}\stackrel!=384\implies c=\frac{3456}{384}\implies c=9$$

Answer 2

Na, da bist ja quasi feritsch:

Grundfläche Dreieck mit den Seiten 9, 16 und Pyramide 144/c hoch

Vol: 16*9/2 * 144/c /3 = 384