Additions- und Multiplikationstabelle

Question

Aufgabe:

Stellen Sie eine Additions- und Multiplikationstabelle für einen Körper K mit 4 Elementen, K={0,1, a, b} auf. Hinweis: Es reicht, die Tabellen aufzustellen, Begründungen sind nicht erforderlich.

Problem/Ansatz:

Guten Morgen zusammen, weiß jemand evt. wie solche Tabellen auszusehen haben? Dankeschön.

Answer 1

Aloha :)

Die Elemente des Körpers $K=\{0,1,a,b\}$ sind bereits gegeben.

Mit der Verknüpfung $+$ muss $(K,+)$ eine abelsche Gruppe bilden (neutrales Element $0$).

Mit der Verknüpfung $\cdot$ muss $(K,\cdot)$ eine abelsche Gruppe bilden (neutrales Element $1$).

Beide Verknüpfungen müssen durch ein Distriutivgesetz "verbunden" sein.

$$\begin{array}{c|cccc}\cdot & 0 & 1 & a & b\\\hline 0 & \pink0 & \pink0 & \pink0 & \pink0\\1 & \pink0 & \pink1 & \pink a & \pink b\\a & \pink0 & \pink a & b & 1\\b & \pink0 & \pink b & 1 & a\end{array}\quad;\quad\begin{array}{c|cccc}+ & 0 & 1 & a & b\\\hline 0 &\pink 0 & \pink 1 & \pink a & \pink b\\1 & \pink1 & \green0 & b & a\\a & \pink a & b & \green0 & \red1\\b & \pink b & a & \red 1 & \green0\end{array}$$

Zum Entstehen der Tabellen:

In der Multiplikationstabelle sind die pinken Einträge sofort klar. Bleiben die 4 schwarzen Elemente rechts unten. Da in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau 1-mal vorkommen muss und die Tabelle symmetrisch sein muss (abelsche Gruppe), ist die Position der $1$ klar.

In der Additionstabelle sind die pinken Einträge sofort klar. In den übrigen 9 Feldern müssen wir Symmetrie herstellen (abelsche Gruppe). Das einzige Element, das in den 9 Feldern 3-mal vergeben werden muss ist die $0$, also packen wir die auf die Diagonale. Die beiden roten $1$ müssen in den 4 Feldern rechts unten auftauchen, da in Zeile 2 und Reihe 2 schon eine $1$ steht. Der Rest wird aufgefüllt.

Das sind übrigens die einzigen möglichen Verknüpfungstabellen. Das heißt, die Lösung ist eindeutig.

Comments

Vielen Dank! Sehr hilfreich und ausführlich :)

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Das einzige Element, das in den 9 Feldern 3-mal vergeben werden muss ist die $0$, also packen wir die auf die Diagonale.

Könntest du das näher erläutern?

Answer 2

Ja.

Vgl. Beispiel 3.7 der Vorlesung.

Comments

-_- Nicht korrekt mein Freund.

Answer 3

Das Problem liegt in der Additionstabelle:

+	0	1	a	b
0	0	1	a	b
1	1	0	b	a
a	a	b	0	1
b	b	a	1	0

Comments

Ist das eigentlich die einzige Möglichkeit? Könnte man nicht einfach das $a$ wie eine $2$ und $b$ wie eine $3$ behandeln? Wenn nein - warum nicht?

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Wäre $a=2=1+1\neq 0$, dann ergäbe sich
$a\cdot a=1+1+1+1=0$; denn 4 ist die Gruppenordnung.

Damit hätte man in $a$ einen Nullteiler. Ein Körper besitzt

aber keine Nullteiler.

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@ermanus: Danke für die Info!