Zeige, wenn m Primzahl, dann ist der Restklassenring nullteilerfrei. Was ist ein Primfaktor?

Question

\( k,l, r \in \mathbb{Z} \) und \( m \) eine Primzahl. Es gilt \( k \cdot l = r \cdot m \). Also hat entweder \( k \) oder \( l \) einen Primfaktor \( m \). Was bedeutet das und warum ist das so?

Genauer, es geht um den Restklassenring \( \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \). Es soll gezeigt werden, wenn \( m \) Primzahl, dann ist der Restklassenring nullteilerfrei.

Annahme: \( m \) Primzahl und \( k' \cdot l' = 0' \) ("'" bedeutet Restklasse also z.B. \( a' = a + m \mathbb{Z} \) ).

Dann ist \(k \cdot l = r \cdot m \), für \( r \in \mathbb{Z} \) - das kann ich nachvollziehen.

Also hat entweder \( k \) oder \( l \) einen Primfaktor \( m \), d.h. \( k' = 0' \) oder \( l' = 0' \) - den Teil verstehe ich nicht.

Answer 1

Man kann jede natürliche Zahl >1 in eindeutiger Weise als Produkt von Primfaktoren darstellen.
z.B.   12 = 2*2*3
oder
         45= 3*3*5
und wenn du also sowas hast wie k*l=r*m und m eine Primzahl ist, dann kommt der
Primfaktor m, weil er im Produkt k*l vorkommt, auch in einem der
Faktoren k oder l vor, und deshalb ist einer der Faktoren dadurch teilbar.