Es sei ein normierter reeller Vektoraum (V, ∥ . ∥) gegeben. Man zeige: (1) ∅, V sind abgeschlossen

Question

Aufgabe:

Es sei ein normierter reeller Vektoraum (V, ∥ . ∥) gegeben. Man zeige:

(1) ∅, V sind abgeschlossen;
(2) sind A₁, A₂ ⊂ V abgeschlossen, so ist auch A₁ ∪ A₂ abgeschlossen;
(3) ist J eine beliebige Indexmenge und (A_j ) j∈J ein System abgeschlossener Teilmengen
     von V , so folgt auch ∩_j∈J A_j ist abgeschlossen.

könnte jemand helfen?

LG Blackwolf :)

Comments

Wie habt Ihr "abgeschlossene Mrnge" definiert?

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Eine Teilmenge A ⊂ V heißt abgeschlossen, falls das Komplement ^cA := V \A offen ist.

Und Komplement wiederrum:  Bei fester Grundmenge A : M ⊂ A : A \ M =: ^cM

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Na dann betrachte doch mal die Komplemente von ∅ und V.

Du kannst damit alle Eigenschaften offener Mengen auf

die entsprechenden Eigenschaften abgeschlossener Mengen

übertragen.