Aufgabe zu divergenten Reihen

Question

Aufgabe:

(i) Konstruiere eine divergente Reihe (\( \sum\limits_{k=1}^{n} \) a_k)^∞_n=1, so dass 0 < a_n und a_n^(1/n)  < 1 für alle n ∈ N \ {0}.
(ii) Konstruiere eine divergente Reihe (\( \sum\limits_{k=1}^{n} \) a_k)^∞_n=1, so dass 0 < a_n und (a_n+1/a_n) < 1 für alle n ∈ N.

Problem/Ansatz:

(i) Also zu ersten hätte ich die Reihe:= (\( \sum\limits_{k=1}^{n} \) a^(1/k))^∞_n=1  mit 0 < a < 1. Wäre das Richtig? Falls nein müsste mir bitte einer die Aufgabe nochmal erklären (für Laien)... :D

(ii) Zur zwei bin ich etwas überfordert, da verstehe ich nicht ganz was ich mit dem Bruch zu machen habe.

Answer 1

Ich vermute, dass es hier um eine Warnung vor falscher Anwendung

von Wurzelkriterium und Quotientenkriterium für

konvergente Reihen geht.

Eine Reihe ist ja die Folge der Partialsummen. Also würde man zur besseren

Lesbarkeit bei 2) vielleicht definieren die Folge (b_n)_n∈ℕ durch \( b_n := \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \) .

Die Reihe (\( \sum\limits_{k=1}^{n} \) ak)^∞_n=1  wäre dann also Folge (bn)n∈ℕ .

Eine bekannt divergente Reihe ist ja die harmonische Reihe 1+1/2 + 1/3 + 1/4 + .....

Da wäre also immer \( a_k=\frac{1}{k}  \) und damit wäre \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} =\frac{n}{n+1}\)  < 1 für alle n ∈ N.  Also wäre das so ein Beispiel für Teil 2.

Teil 1 bekommst du damit auch hin .