Grenzwert einer Folge bestimmen.

Question

Aufgabe:

$$b_n=\displaystyle{\frac {(n+2)^{n+1}} {\frac{n}{2} \cdot (1+n)^n} - \left(\frac{n+1}{n} \right)^{-n}}$$

Problem/Ansatz:

Könnte mir einer bitter ausführlich den Grenzwert berechnen damit ich daraus lernen kann. Verzweifle grade....

Vielen Dank falls einer sich dazu bereit stellen würde. <3

Answer 1

Aloha :)

$$b_n=\frac{(n+2)^{n+1}}{\frac n2\cdot(1+n)^n}-\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n}=\frac{(n+2)^{n+1}}{\frac n2\cdot\frac{1}{(1+n)}(1+n)^{n+1}}-\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}$$$$\phantom{b_n}=\frac{(n+2)^{n+1}}{\frac{n}{2(1+n)}(1+n)^{n+1}}-\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}=\frac{2(1+n)}{n}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}-\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}$$$$\phantom{b_n}=\left(\frac2n+2\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}-\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}2\cdot e-\frac 1e=\frac{2e^2-1}{e}$$

Comments

Hiiiiiiiiiii,

\(\frac{(n+2)^{n+1}}{\frac n2\cdot(1+n)^n}-\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n}=\frac{(n+2)^{n+1}}{\frac n2\cdot\frac{1}{(1+n)}(1+n)^{n+1}}-\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}\)

Frage dazu: Wie hast du das gemacht, dass aus dem \(\frac n2\cdot(1+n)^n\), das wird \(\frac n2\cdot\frac{1}{(1+n)}(1+n)^{n+1}\)

\(\frac{2(1+n)}{n}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}-\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}\) = \(\left(\frac2n+2\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}-\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\)

Hier genau die selbe Frage. Wie aus \(\frac{2(1+n)}{n}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\) das werden kann \(\left(\frac2n+2\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\)

Falls die Antworten trivial sind, entschuldige... :D

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Ich habe mit \((1+n)\) erweitert:$$\frac n2\cdot(1+n)^n=\frac n2\cdot(1+n)^n\cdot\underbrace{\pink{\frac{(1+n)}{(1+n)}}}_{=1}=\frac{n}{2\pink{(1+n)}}\cdot(1+n)^n\cdot\pink{(1+n)}$$$$\phantom{\frac n2\cdot(1+n)^n}=\frac{n}{2\pink{(1+n)}}\cdot(1+n)^{n\pink{+1}}$$Dieser Term taucht dann im Nenner auf:$$\frac{(n+2)^{n+1}}{\frac{n}{2(1+n)}(1+n)^{n+1}}$$Den Bruch kannst du nun mit \((2(1+n))\) erweitern:$$\pink{\frac{2(1+n)}{\cancel{2(1+n)}}}\cdot\frac{(n+2)^{n+1}}{\frac{n}{\cancel{2(1+n)}}(1+n)^{n+1}}=\frac{\pink{2(1+n)}\cdot(n+2)^{n+1}}{n(1+n)^{n+1}}$$

Und das kannst du nun weiter umformen:$$=\frac{2(1+n)}{n}\cdot\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}=\frac{2+2n}{n}\cdot\left(\frac{(n+1)+1}{n+1}\right)^{n+1}$$$$=\left(\frac2n+\frac{2n}{2n}\right)\cdot\left(\frac{n+1}{n+1}+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\frac2n+1\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$

Die Antworten sind nicht trivial. Dir fehlt einfach nur ein bisschen Erfahrung mit solchen Umformungen. Deswegen finde ich gut, dass du nachfragst. Das zeigt uns im Forum, dass du wirklich lernen möchtest.