Vollständige Induktion über n

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=1}^{n} \) (2k-1)3^k = (n-1) 3ⁿ⁺¹+3

a) Überprüfe die Behauptung für n: 1 und n: 2.

b) Beweise die Behauptung mit vollständiger Induktion über n.

Problem/Ansatz:

Bei a) bin ich jetzt jeweils auf 4 gekommen, falls das stimmen sollte. Brauche allerdings Hilfe bei b) mit dem Beweis anhand vollständiger Induktion über n.

Answer 1

Aloha :)

Für \(n=1\) rechnen wir beide Seiten der Gleichung aus:$$n=1\implies\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot 3^k=(2\cdot1-1)\cdot 3^1=1\cdot 3=3$$$$n=1\implies(n-1)\cdot3^{n+1}+3=0\cdot3^{2}+3=3$$Und für \(n=2\) erhalten wir:$$n=2\implies\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot 3^k=3+(2\cdot2-1)\cdot3^2=3+3\cdot9=30$$$$n=2\implies(n-1)\cdot3^{n+1}+3=1\cdot3^3+3=30$$

Für \(n=1\) und \(n=2\) haben wir die Gültigkeit der Gleichung damit gezeigt und haben auch schon die Induktionsverankerung dadurch erledigt. Bleibt noch der Induktionsschritt:

$$\phantom=\sum\limits_{k=1}^{n\pink{+1}}(2k-1)\cdot3^k=\pink{(\,2(n+1)-1\,)\cdot3^{n+1}}+\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^k$$Die verbliebene Summe können wir durch die Induktionsannahme ersetzen:$$=\pink{(2n+1)\cdot3^{n+1}}+(n-1)\cdot3^{n+1}+3$$Wir klammern \(3^{n+1}\) aus:$$=\left[(2n+1)+(n-1)\right]\cdot3^{n+1}+3=3n\cdot3^{n+1}+3=n\cdot3^{n+2}+3$$Das schreiben wir noch in eine geeignete Form um, damit man sofort erkennt, dass in der Endformel \(n\) durch \((n+1)\) ersetzt wurde:$$=(\pink{(n+1)}-1)\cdot3^{\pink{(n+1)}+1}+3\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo,

Bei a) bin ich jetzt jeweils auf 4 gekommen, falls das stimmen sollte.

das ist eher \(3\) bzw. \(30\)$$\begin{aligned}n=1: \quad \sum\limits_{k=1}^{1} (2\cdot 1-1)3^{k} &= (1-1) 3^{1+1}+3\\ 1\cdot 3^1&= 0 + 3\\ 3&= 3 \checkmark \\n=2: \quad \sum\limits_{k=1}^{2} (2k-1)3^{k} &= (2-1) 3^{2+1}+3\\ 1 \cdot 3^1 + 3 \cdot 3^2 &= 1 \cdot 3^3 + 3 \\ 30 &= 30 \checkmark\end{aligned}$$

Brauche allerdings Hilfe bei b) mit dem Beweis anhand vollständiger Induktion über n.

das geht zum Beispiel so:$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1)3^{k} &= \sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1)3^{k} + (2(n+1)-1)3^{n+1} \\ &= (n-1) 3^{n+1}+3  + (2n+1)3^{n+1} \\ &= (n-1+2n+1) 3^{n+1}+3\\ &= (3n) 3^{n+1}+3\\ &= (n) 3^{n+2}+3\\ &= ((n+1)-1) 3^{(n+1)+1}+3 \space \checkmark\\ \end{aligned}$$an welcher Stelle hattest Du denn ein Problem?

Gruß Werner

Comments

danke schon ein mal!

Allerdings verstehe ich bei a) nicht so ganz, wo plötzlich das +3 • 3² herkommt, wenn man für n =2 einsetzt. Wäre für die linke Seite doch eigentlich nur 1•3¹ , da wir ja vorher 2•1-1 ausrechnen.

Ich hoffe es ist verständlich, was ich gerade meine

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Allerdings verstehe ich bei a) nicht so ganz, wo plötzlich das +3 • 3² herkommt, wenn man für n =2 einsetzt.

Die linke Seite lautet allgemein$$\sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1)3^k = \dots$$setze \(n=2\)$$\sum\limits_{k=1}^{2} (2k-1)3^k = \dots$$sind zwei Summanden; einer für \(k=1\) und einer für \(k=2\); einzeln hingeschrieben:$$\begin{aligned} \overbrace{\underbrace{(2\cdot {\color{red}1} - 1)}_{=2-1=1}\cdot 3^{\color{red}1} }^{k={\color{red}1}} +\overbrace{\underbrace{(2\cdot {\color{red}2} - 1)}_{=4-1=3}\cdot 3^{\color{red}2}}^{k={\color{red}2}} &= \dots\\ 1\cdot 3^1 + 3\cdot 3^2 &= \dots\end{aligned}$$

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bleibt k nicht gleich 1?

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bleibt k nicht gleich 1?

Nein \(k\) läuft von \(k=1\) bis \(k=n\). Genau das bedeutet$$\sum\limits_{k=1}^{n} \dots $$Beispiel$$\sum\limits_{k=1}^{3} k^2 = 1^2 + 2^2+ 3^2$$

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\(\begin{aligned}1\cdot3^1+3\cdot3^2&=1\cdot3^3+3\\12&=12 \checkmark\end{aligned}\)

Gleichheit stimmt wohl, aber \(12\) nicht.

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Gleichheit stimmt wohl, aber \(12\) nicht.

Oh nein - wie peinlich. Na da hatte ich ja Glück, dass \(3+3^3 = 3^3 + 3\) ist ;-)