Lösungsmenge ändert sich durch Spaltenumformung

Question

Aufgabe:

Belegen Sie jeweils durch ein Beispiel, dass sich die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem Ax=b durch Anwendung elementarer Spaltenumformungen (d.h. Ausführung elementarer Spaltenoperationen an der Matrix A) im Allgemeinen verändert. Beschreiben Sie, wie die Lösungsmengen genau auseinander hervorgehen!

Answer 1

0 1 2
1 0 3   ==>   y=2 und  x=3

Spaltentausch :

1 0 2
0 1 3  ==>  y=3 und x=2

Die Werte der entsprechenden Variablen werden auch vertauscht.

Answer 2

Merkwürdige Frage:

Auch für Matrizengleichungen muß auf Äquivalenzumforungen geachtet werden, dann ja...

Für ein LGS wie

A x = b

würden Spaltentausche das Einschieben von Tauschmatrizen T_ab zwischen A x notwendig machen. Deshalb wird ein Spaltentausch in A einen Zeilentausch in x implizieren.

A id x = A T_ab T_ab x = b

Tauschmatrizen sind selbst-invers: 2 x tausche ab ==> bin wieder auf Anfang.