Beweise zur affinen Ebene

Question

Aufgabe:

Eine Teilmenge E⊂ℝ³ heißt affine Ebene, falls sie von der Form E=E_a,b:={(x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³:a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃=b} für a=(a₁,a₂,a₃) ∈ ℝ³ \ {0} und b∈ℝ ist. Zeigen Sie:

a) Jede affine Ebene E lässt sich in Parameterform bringen, d.h. es existieren u,v,w ∈ ℝ³ mit v,w linear unabhängig, so dass E={u+λv+μw:λμ ∈ ℝ}.

b) Für den Schnitt zweier affiner Ebenen E und E‘ tritt genau eine der folgenden drei Möglichkeiten ein:

i E∩E‘=∅

ii E=E‘

iii E∩E‘=L für L={u+λv:λ∈ℝ} mit u,v∈ℝ³.

c) Für je drei Punkte x,y,z∈ℝ³, die nicht auf einer affinen Geraden liegen, existiert genau eine affine Ebene E mit x∈E, y∈E und z∈E.