Restklassen Beweis Abbildung

Question

Aufgabe:

x ≡ y :⇐⇒ x − y ist ein Vielfaches von n

n natürliche und x,y ganze Zahlen

wenn n eine Primzahl ist und x nicht von n geteilt wird

f : Zn −→ Zn : y → x · y. Bijektiv?
Problem/Ansatz:

Comments

wenn n eine Primzahl ist und x nicht von n geteilt wird

was soll dann gelten?
Vielleicht, dass f injektiv oder gar bijektiv ist?

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Ja Entschuldigung habe ich vergessen

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Habt ihr bereits bewiesen, dass bei n = Primzahl

Z/nZ, ein Körper ist?

Oder dass die zu n primen Restklassen eine Gruppe bilden?

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Nein noch nicht

Answer 1

Sei \(x\cdot y\sim x\cdot y'\), dann gilt

\(x\cdot (y-y')\sim 0\), folglich \(n\; | \; x\cdot(y-y')\).

Da \(x\) nicht durch \(n\) teilbar ist und \(n\) prim ist,

folgt \(y-y'\sim 0\), also \(y=y'\) in Z/nZ.

f ist damit injektiv. Da eine injektive Abbildung einer

endlichen Menge in sich "automatisch" bijektiv ist, gilt

die Behauptung.

Comments

Was bedeutet der senkrechte Strich nach n?

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a|b bedeutet a teilt b

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Ok vielen Dank

Kann man auch aus der Äquivalenzklasse Zn einen Körper formen?

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Verstehe die Frage nicht: was ist denn bei euch das \(Z_n\) ?

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Zn := {0 quer, 1 quer. . . , n − 1 quer}

Also die Menge aller Äquivalenzklassen

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Das ist dasselbe wie das, was ich mit Z/nZ bezeichne.

Übrigens: \(Z_n\) ist keine Restklasse, sondern die Menge

der Restklassen \(\{\bar{0},\cdots, \overline{n-1}\}\)

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Ah ok

Ich soll zudem noch zeigen, dass wenn n eine Primzahl ist, Zn ein Körper ist