Welche der folgenden Quadrupel sind Vektorräume?

Question

$$\text{Welche der folgenden Quadrupel sind Vektorräume? Beweisen Sie ihre Antwort }$$

a) $$(V,\underline0,+,*) \text{über einem Körper K, wobei V:=} \{ (x,y)\in K^2\mid x+y=0 \} \text{ und "+" sowie "*" die von } K^2 \text{eingeschränkten Verknüpfungen seien}$$

b) $$\mathbb{Q},0_\mathbb{Q},+_\mathbb{Q},*_{\mathbb{Q}\mid \mathbb{Z}\times \mathbb{Q}}$$ über $$\mathbb{Z}$$

c) $$(V,\underline0,+,*) \text{ über } \mathbb{R} \text{ wobei V:=}\{ (x,y)\in \mathbb{R}\mid x^2+y^2=1\}  \text{ und "+" sowie "*" die von }\mathbb{R}\text{ eingeschränkten Verknüpfungen seien}$$

d) $$(\mathbb{R}_{>0}, 1_\mathbb{R},\oplus,\odot) \text{ über } \mathbb{R}\text{ zusammen mit den folgenden Verknüpfungen:}$$

$$\oplus: \mathbb{R}_{>0}\times \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0},\text{ } x\oplus y := x*y$$

$$\odot: \mathbb{R}\times \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0},\text{ } \lambda\odot x := x^{\lambda}$$

Ich weiß überhaupt nicht, wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Vielen Dank für Hilfestellungen oder Tipps!

Answer 1

Hallo

a)  sa sins alle Objekte  k*(1,-1) oder (k,-k) der Nullvektor ist enthalten, die Summe von 2 Objekten ist enthalten, also ist es ein VR

b) ist unleserlich für mich.  ich lese nur über ℤ und das ist kein Körper

c)x^2+y^2=1 das wären Objekte (a,1-a^2) wenn due 2 davon addierst alsogehören die Summe nicht dazu, auch nicht das Produkt mit r, also kein VR auch schon es enthält die 0 nicht reicht.

versuche jeweils die Vektorraumaxiome zu zeigen oder eines zu finden, das nicht erfüllt ist .

lul