Beweisen Sie, dass |Abb(A, B)| = mn . Wie viele davon sind injektive Abbildungen?

Question

Aufgabe:

Seien A und B Mengen mit |A| = n und |B| = m.
Beweisen Sie, dass |Abb(A, B)| = mⁿ
. Wie viele davon sind injektive Abbildungen? Begrunden Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Jede Abb. von A nach B kann du die Angabe der n Bilder für jedes

x∈A eindeutig beschrieben werden.

Dies könnte man zusammenfassen zu einem n-Tupel ,

das in der i-ten Komponente das Bild von a_i enthält,

wenn A={a₁,...,a_n}.

Umgekehrt wird auch durch jedes solche n-Tupel

eine Abbildung von A nach B definiert.

Also ist die Anzahl der Abbildungen gleich der Anzahl

der n-Tupel. Die Menge dieser n-Tupel ist das

cartesische Produkt BxBx...xB mit n-Faktoren, also

die Anazhl der Elemente gleich |B|^n = m^n .

Comments

vielen herzlichen Dank für die Antwort

Answer 2

Die Anzahl der injektiven Abbildungen ist$${m \choose n}\cdot n!$$, wobei dieser Ausdruck als 0 interpretiert werden soll,

wenn m<n ist.

Überlege dir, wie wohl diese Formel entsteht !