Question

Beweis mithilfe vollständiger Induktion:

e (n/e)ⁿ ≤ n! ≤ ne (n/e)ⁿ

Comments

Hallo

hast du den Anfang? Was hast du versucht? wo klappt es nicht?

lul

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Induktionsanfang und behauptung hab ich. Beim Induktionsschluss hackts.

Text erkannt:

$e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \leq(n+1) ! \leqslant(n+1) e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$
$e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n} \cdot\left(\frac{n+1}{e}\right) \leqslant n ! \cdot n+1$
$\quad \leq(n+1) e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n} \cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)$

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Ich vermute, dass Ihr über die Folgen $(1+1/n)^n$ und $(1+1/n)^{n+1}$ gesprochen habt - oder?

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Unter anderem ja

Answer 1

Hallo,

zunächst ein wenig Vorüberlegung. Zu zeigen ist im Induktionsschritt

$$e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \leq (n+1)!$$

Wo kann man jetzt die Induktionsvoraussetzung einbringen. Auf den ersten Blick würde ich sagen: Rechts ist einfacher. Zu zeigen wäre dann:

$$e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \leq e\left(\frac{n}{e}\right)^n (n+1)$$

Wenn man hier kürzt, umformt etc., kommt man darauf, dass man die Info braucht:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n <e$$

Dann kann man den Beweis in geordneter Weise aufschreiben:

$$e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}=e^{-n}(n+1)\left(\frac{n+1}{n}\right)^n n^n$$

$$=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \left(\frac{n}{e}\right)^n(n+1)<e\left(\frac{n}{e}\right)^n(n+1) \leq (n+1)!$$

Gruß Mathhilf