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Beweis mithilfe vollständiger Induktion:

e (n/e)n ≤ n! ≤ ne (n/e)n

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Hallo

hast du den Anfang? Was hast du versucht? wo klappt es nicht?

lul

Induktionsanfang und behauptung hab ich. Beim Induktionsschluss hackts.299DF403-3155-403F-997F-A29682DF3C48.jpeg

Text erkannt:

e(n+1e)n+1(n+1)!(n+1)e(n+1e)n+1 e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \leq(n+1) ! \leqslant(n+1) e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}
e(n+1e)n(n+1e)n!n+1 e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n} \cdot\left(\frac{n+1}{e}\right) \leqslant n ! \cdot n+1
(n+1)e(n+1e)n(n+1e) \quad \leq(n+1) e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n} \cdot\left(\frac{n+1}{e}\right)

Ich vermute, dass Ihr über die Folgen (1+1/n)n(1+1/n)^n und (1+1/n)n+1(1+1/n)^{n+1} gesprochen habt - oder?

Unter anderem ja

1 Antwort

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Hallo,

zunächst ein wenig Vorüberlegung. Zu zeigen ist im Induktionsschritt

e(n+1e)n+1(n+1)!e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \leq (n+1)!

Wo kann man jetzt die Induktionsvoraussetzung einbringen. Auf den ersten Blick würde ich sagen: Rechts ist einfacher. Zu zeigen wäre dann:

e(n+1e)n+1e(ne)n(n+1)e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \leq e\left(\frac{n}{e}\right)^n (n+1)

Wenn man hier kürzt, umformt etc., kommt man darauf, dass man die Info braucht:

(1+1n)n<e\left(1+\frac{1}{n}\right)^n <e

Dann kann man den Beweis in geordneter Weise aufschreiben:

e(n+1e)n+1=en(n+1)(n+1n)nnne\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}=e^{-n}(n+1)\left(\frac{n+1}{n}\right)^n n^n

=(1+1n)n(ne)n(n+1)<e(ne)n(n+1)(n+1)!=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \left(\frac{n}{e}\right)^n(n+1)<e\left(\frac{n}{e}\right)^n(n+1) \leq (n+1)!

Gruß Mathhilf

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