Die Frage ist recht allgemein formuliert. \(f\in \mathcal{C}^m(I)\) deutet zunächst einmal, insofern \(\mathcal{C}^m\) als Differentiationsklasse gelesen werden soll, darauf, dass \(f: I\to \mathbb{R}\) \(m\)-mal stetig differenzierbar ist. Stetig differenzierbar heißt, dass die Funktion (a) differenzierbar ist (und daher stetig) und (b), dass auch die Ableitungsfunktion stetig ist. Wenn \( f^{(m)}(x) \equiv 0 \) kann man z. B. schließen, dass \(f\in C^{\infty}(I)\), d. h. unendlich oft stetig differenzierbar ist, weil die Nullfunktion \(x\mapsto 0\) stetig ist und die Ableitung derselben immer wieder die Nullfunktion ist.
